SURFACE POLAIRE ET DÉVELOPPÉES DES COURBES GAUCHES AIS

le plan rectifiant, donc la courbe est une géodésique de la développable et elle se transforme en droite quand on étend celle-ci sur un

plan. C’est de là que vient le nom de développable rectifiante.

358. Surface polaire. — Etant donnée une courbe gauche : (x) x =f(t), =), x = 0,

la surface (ou développable) polaire est l'enveloppe des plans normaux. Pour obtenir les équations d’une caractéristique, il faut combiner l'équation du plan normal et sa dérivée par rapport à f. Cette droite, dont les équations sont donc

(CEROART (E ei X) x" + Cr RER 7) y” + (£ taie 7) 70 qe + Jun + Ce

s'appelle droite polaire où axe du plan osculateur ou encore axe de courbure. Elle est perpendiculaire au plan osculateur, car ses coeflicients de direction y?" — 7 y” — À,... sont les mêmes que ceux de la normale à ce plan. En joignant aux équations de l’axe de courbure celle du plan osculateur, A(£ — x) + ... — 0, on obtient les trois équations qui déterminent les coordonnées du centre de courbure (t. I, n° 229). Donc : Le centre de courbure est le point de percée du plan osculateur par l’axe de courbure.

Les équations de l’arête de rebroussement de la surface polaire s’obtiennent en ajoutant aux deux équations d’une caractéristique la

suivante, obtenue en dérivant une fois de plus :

CE DE Cr dE ra).

359. Sphère osculatrice. — L’équation d’une sphère (de centre £, r, & et de rayon R arbitraires) renferme quatre paramètres, qui permettent d'obtenir avec la courbe, en un point donné f, un contact du troisième ordre. Les éléments £, %, 6 et R de la sphère

osculatrice seront déterminés par les quatre équations : = + EG —RE0 L / pe / "4 , RC SE TE CHARGES GJRS ES 0:

D”(1) = DCE) En

Les trois équations & = +” — +” — 0, qui déterminent £, n, € sont les mêmes que celles qui déterminent les coordonnées du point où la droite polaire touche son arête de rebroussement et que nous avons écrites au n° précédent. Nous obtenons donc le théorème suivant : |

L’arête de rebroussement de la surface polaire est le lieu géomé-

lrique du centre de la sphère osculaltrice.

860. Développées des courbes gauches. — On appelle dévéloppée d'une courbe donnée toute courbe qui est une enveloppe de normales à cette courbe, ou toute courbe dont les tangentes viennent rencontrer normalement la courbe donnée.

Soient { le paramètre et x, y, x les coordonnées d’un point M de la courbe gauche (1); £, r, € celles du point N correspondant de la développée ; : la longueur MN de la normale; s l'arc de la développée (compté positivement dans le sens MN). Les équations du

problème sont

@, LE -t ee ee qui expriment que MN est tangent à la développée, et G) E— x) dx + (ù — 3) à + (ED & = 0 qui exprime que MN est normal à la courbe.

Il y a donc trois relations distinctes pour déterminer £, x, € en

fonction de {. Commençons pour établir quelques propriétés de la

développée. Différentions l’équation Es) + Gp +E-D = en ayant égard à (3); il vient (EE 2) dE Co) An EC ONE Eee cn en remplaçant AR par leurs valeurs (2), \

do L j pds dou: do Me