SURFACE POLAIRE ET DÉVELOPPÉES DES COURBES GAUCHES

Différentions l’équation (3) en tenant compté de la relation d£ 4x — 0 qui résulte immédiatement de (2) et (3); il vient CPR RER ARE a) ER RO PR = ds?

Mais les équations (3) et (4) sont celles de l'axe de courbure du point M. Le point N où la normale MN touche la développée est sur cet axe; donc foutes les développées d’une courbe gauche sont tracées sur sa surface polaire. | Passons maintenant à la détermination analytique des développées. Soit Z le centre de courbure au point M; menons le rayon de courbure R — MZ et l’axe de courbure ZN (fig. 6). Le segment ZN

sera considéré comime positif dans le sens de la

M binormale de direction (X, Y, Z) et comme négatif en sens contraire. Désignons enfin par 6 l'angle de .. la normale MN avec la normale principale MZ, angle compris entre + 90° et de même signe que ZN en à z FIG. 6.

SOI Que NEE R'to 6. Pour obtenir les coordonnées ©, x, € du point N, écrivons que les projections de MN sur les axes sont égales à celles du contour MZN ; nous trouvons e x Rx +IX 190), (5) jy RE Vie) RE ER (HE Zn tent)

En exprimant dans ces équations (4), x, y, x et les seconds membres en fonction de /, on obtient une représentation paramétrique de la développée. Mais, pour cela, il faut encore connaître la valeur de 6 en fonction de /.

A cet effet, différentions la première équation (5); il vient

dE = AX + X AR HR dx + 4X(R tg 0) + XA(R tg 6)

Eliminons 42 par les relations (2) et (5) et dx, dX par les formules

de Erenet (t:1,'n° 238), qui donnent

do do

dE (E — 4) REG EX let),

, >} di = — me + +) ds, HN . ds ;

Vol. IH. | | | af