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Il vient

do É = RX : < À R x (À EX tp.8) = \4R — ST ds Rte 6 + X4(R te 6).

Dans cette dernière équation, on peut considérer x et X comme des indéterminées, car leurs coefficients ne dépendent que de la forme de la courbe et non du choix des axes coordonnés. Les:

coefficients de x et X sont donc les mêmes dans les deux membres,

ce qui nous donne

170) KR d R do KR d R— RE + tg 0 — d(Rtg 0) —

et, en éliminant ds : 9 entre les deux équations,

R ds : ee ds DTA Gr + Lo 6) + Rd to GE O, d ou 192 RES

En définitive, 0 est déterminé par une quadrature

É ds

t étant la variable d'intégration. La valeur initiale 8, reste arbitraire. Si l’on porte la valeur (6) dans (5), on obtient les équations d’une infinité de développées, différant par la valeur initiale 6,.

La formule (6) conduit à une conséquence importante. Si l’on considère deux développées différentes (0) et (8°) engendrées par les deux normales MN et MN, on tire de (6)

CN EN Re

Donc, si deux normales MN et MN° engendrent des développées, elles font entre elles un angle constant.

Réciproquement, si la normale MN a une enveloppe, la normale MN° en a une aussi, pourvu qu'elle fasse un angle constant avec MN.

Si la courbe est plane, la torsion 1 : T est nulle et 0 se réduit à 6. Si l’on prend le plan de la courbe comme plan xy, on a ri VX = 0.et 2 Nr des lommules ts) deviennent

6 — X + R\, a = y + Ro, C—=Rtet,.