SURFACE POLAIRE ET DÉVELOPPÉES DES COURBES GAUCHES

Or £, n sont les coordonnées du centre de courbure. Par conséquent, les développées s’obtiennent en prenant, sur chaque normale au plan de la courbe élevée au centre de courbure, une longueur proportionnelle au rayon de courbure correspondant. La surface polaire est un cylindre, dont la développée ordinaire est une section droite, et les autres développées sont des hélices qui coupent les génératrices de ce cylindre sous un angle constant (complémentaire de 0,).

La développée ordinaire s’obtient en faisant 4, — 0 et elle est l'enveloppe des normales principales. Mais on observe que les courbes planes sont les seules dont les normales principales aient une enveloppe, car la formule (6) montre que 0 ne peut être constant que si la torsion est nulle.

REMARQUE. — Les normales à une courbe gauche (C) forment une congruence de droites (n° 355). Les deux points focaux sur une normale sont le point M de la courbe et le point de contact avec la surface polaire. Celle-ci est donc une nappe de la surface focale, tandis que lautre nappe dégénère dans la courbe (C) lieu du point M. Par chaque normale passe une vraie développable, contenant (C) et ayant son arête sur la surface polaire, tandis que lautre développable est le plan normal perpendiculaire à la première. Ainsi les deux plans focaux sont rectangulaires, la congruence est une congruence de normales à une surface (n° 356) et les développées

sont des géodésiques de la surface polaire.

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