CHAPITRE XIII

Lignes tracées sur une surface

V r. Courbure des lignes tracées sur une surface

361. Formule fondamentale. — Il s’agit d'étudier, en un point M d’une surface S, la courbure des lignes tracées sur la surface et passant par ce point. Les axes sont supposés rectangulaires.

Nous mettons l’équation de la surface sous la forme

L = f(x, 7); nous admettons que x et ses dérivées partielles des deux premiers

ordres sont des fonctions uniformes et continues des deux variables

x et y et nous posons, en abrégé,

h 0 / — LES ”. LS Le dx = 0x da 0x” ll el dy” Ce ox?’ Ôx 0” [Er y” d

Ceci entendu, menons la normale MN au point M(x, 7, 2) de la sufface,l dans le séns ou) elle: fait \unsanolé/aiou tavectO SES cosinus directeurs X, Y, Z seront, sans ambiguité de signe (le

radical étant positif),

mu nt RE ER ir Ro TRI Vi+p+r

Soient maintenant x, ®, les cosinus directeurs de la tangente MT

au point M à une courbe (C) de la surface; À, y, v les cosinus

directeurs du rayon de courbure R de cette courbe, et 8 l’angle de R

avec la normale à la surface. Nous avons par les formules de Frenet :

(tee 530)

ds

COS Vs RME NU ENTREE

LA 0 ANNE TI M ET Lire or

Substituons les valeurs

TA d'X es 1 15 BE NI SES RPC QUE GR ds ds ds

7 se.

et observons que X4x + Ydy + Zadx est nul, parce que le déplacement dx, dy, dx sur la courbe (C) est perpendiculaire à la normale

AAisuraces til Vient

(1) cos 5) A CT Y + Y dy 2e Z dx ÈS ii

ds” \ Remplaçons maintenant d°x par sa valeur Pr rdx" + 25dx dy + {dy + pd?x + qu'y:

les termes en d’x et d°y disparaissent, car leurs coefficients X + pZ

et Y + gZ sont nuls; et, en substituant encore à Z la valeur indi-

quée plus haut, il reste cos 8 r ax? + 25dx dy + tdy° (2) HA RENE SES VAS di PP BAR ou encore, en introduisant les cosinus directeurs a, 8 de la tangente

Aa courbe (C),

(3) cos Ô Eee 2 $ ab 110?