PUR VAL ERNST

C’est la formule fondamentale dans la théorie de la courbure,

362. Théorème. — Une courbe tracée sur une surface a même rayon de courbure au point M que la section plane déterminée dans la surface par son plar osculateur. hi

En effet, ces deux courbes ayant même tangente et même normale principale au point M, les quantités 4, «, 5 ont mêmes valeurs pour les deux courbes et la formule (3) fournit la même valeur pour K. |

Ce théorème ramène la courbure des courbes quelconques à celle des sections planes. Toutefois ce théorème tombe en défaut si cos Bet ra + 2526 + 16° s’annulent à la fois, ce qui rend la formule (3) identique. Alors la courbe a son plan osculateur tan-

gent à la surface et elle est tangente aux directions asymbtotiques

(n° 367). Tel est le cas pour la section de la surface par son plan

tangent.

363. Théorème de Meusnier. — Le rayon de courbure au point M d’une section oblique est la projection sur le plan de celte section du rayon de courbure de la section normale qui a même tangente en M.

Soit R, le rayon de courbure de la section normale qui a pour tangente MT. Pour cette section, on a cos 0 — + 1 selon que le vecteur R, est dirigé suivant MN ou en sens contraire. Le premier

membre de (3) se réduit donc à -£ 1 : KR, et, comme le second

membre est indépendant de 6, nous obtenons

@ = =, d'où R Rod)

Dans les deux cas, + cos Ô est le cosinus de l’angle fait que le

vecteur R avec le vecteur R,, ce qui prouve la proposition.

364. Courbure normale et courbure géodésique. — Soit C le centre de courbure de la courbe tracée sur la surface. Menons par ce point l’axe de courbure (ou la normale au plan osculateur) coupant en C, le plan normal à la surface (passant par MT) et en C, le plan tangent.

Le point C, s'appelle centre de courbure normale, le vecteur MC, rayon de courbure normale, la grandeur inverse courbure normale de la courbe au point M.

Le point C, s'appelle centre de courbure géodésique, MC, rayon de courbure géodésique, la grandeur inverse courbure géodésique.

D’après cela, les courbures normale et géodésique ont respective-

ment pour valeurs (abstraction faite du signe)

cos Ÿ sin À RD NT On voit aussi, en se reportant à la relation (4) du n° précédent, que la courbure normale d’une courbe est égale à la courbure de la section normale qui a même tangente MT.

Si l’on projette la courbe sur le plan tangent, la courbe et sa

projection sont respectivement une section oblique et une section