COURBURE. ÉQUATION D'EULER
normale du cylindre projetant. Donc, en vertu du théorème précédent, la courbure géodésique est la courbure au point M de la projection de la courbe sur le plan tangent à la surface. De même, la courbure normale est celle de la projection de la courbe sur le plan normal à la surface passant par la tangente MT.
On peut aussi attribuer un signe aux courbures normale et géodésique. On prend R en valeur absolue, la courbure normale est entièrement définie par la formule cos Ÿ : KR : elle est positive et négative selon que R est du même côté de la surface que la normale MN ou bien du côté opposé.
La courbure géodésique sera définie en grandeur et en signe par l’expression sin 4 : R, à condition de donner un signe à 0. Pour cela, il faut définir le sens direct pour la rotation de MN vers KR, ce qui peut se faire par rapport au trièdre principal. La courbure géodésique sera positive ou négative suivant que le rayon de courbure sera de l’un ou de l’autre côté du plan normal.
Si la normale principale est normale à la surface, 0 — 0 ou 7, et la courbure géodésique est nulle. Les lignes dont la courbure séodésique est constamment nulle portent le nom de lignes géodésiques.
Si la normale principale est tangente à la surface, 0 — 7 . 2 et la courbure normale est nulle. Les lignes dont la courbure normale est
constamment nulle portent le nom de lignes asymptotiques (n° 390).
365. Equation d’Euler. Sections et directions principales. — Le théorème de Meusnier ramène l’étude de la courbure à celle de la courbure des sections normales. Celle-ci a été faite par Euler.
Plaçons l’origine des coordonnées au point M et prenons la normale MN pour axe des x, donc pour plan xy le plan tangent à la surface. On a p — q — 0. Pour une section normale, la formule
fondamentale (3) se réduit à
(6) re + 25a8 +16!
si Rest dirigé suivant MN; tandis qu’il faut changer le signe du
premier membre si R est de sens contraire. Mais nous conviendrons
nt 4 DFA à È beta Re : é j Het à i - St M | D AE À 424 CHAPITRE XII. LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE
de considérer la formule (6) comme générale, en attribuant un double signe à R, positif dans le sens MN et négatif dans le sens
contraire, ;
: Soit w l'angle de la tancente MT à la section avec l’axe des x: 1 oO a) »
vient, par une transformation facile,
al L ». j A r COS” © + 25 cos w sin © + { sin w ; r+Hl r—t AS | = + COS 26 + $ sin 20. RP
Cette équation montre que 1 : R est une fonction continue et
limitée de w : elle a donc au moins ua maximé et un minimé. On les trouve en cherchant les valeurs de w qui annulent sa dérivée, c’est-à-dire les racines de l’équation |
Fiese D
to Die
Cette équation donne pour w deux directions rectangulaires.
Prenons-les pour axes des x et des }'; l'équation précédente ayant
pour racine w == 0, il faut que s — O, et l'équation (2) se réduit à
