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ie R

Soient R, le rayon de courbure de la section w = 0, R, celui des”

la section w

obtenons ainsi Péquation d' Euler

ÉRPAMBIEGS Eve sin”

Re RNA |

Sr 29 NOUS AUTOS TRE IT MIROIR

Les deux directions rectangulaires que nous venons de considérer

correspondent aux sections de plus grande et de plus petite cour- :

bure, celles-ci s'appellent les sections principales. Les plans de ces

sections sont les plans principaux. Les rayons de courbure KR, et R,

de ces sections sont les rayons de courbure principaux. Les centres

de courbure correspondants sont les centres de courbures principaux.

Les directions des tangentes aux sections principales sont les direc-

tions principales.

COURBURE. EQUATION D'EULER 425

L’équation d’Euler ne dépend plus en rien des axes coordonnés et elle exprime une propriété de la surface. Elle fait dépendre le rayon de courbure d’une section normale quelconque de l’angle que fait le plan de cette section avec celui d’une section principale et des

deux rayons de courbure principaux.

366. Courbure moyenne. — Soient R’ et R” les rayons de courbure de deux directions rectangulaires définies par les angles

et w + 7 : 2; on a, par la formule d’Euler,

ERA COS” « sin” © AE 3 ER sin” w ii COS” «) RU EN NOM RENE RTE par conséquent, I I L I RARE RUN N R, K;

Donc /a somme des courbures de deux sections rectangulaires est consiante au point M et égale à la somme des courbures' principales. La moitié de cette constante s'appelle la courbure moyenne au point M.

Le concept de courbure moyenne est dû à Sophie Germain.

367. Forme de la surface au voisinage d’un point. Directions asymptotiques. — On peut distinguer sur la surface trois sortes de points :

1° SiR, ét R, sont de même signe au point M, KR a toujours le même signe quel que soit w, et toutes les sections tournent leur concavité dans le même sens. Dans le voisinage de M, la surface se trouve tout entière du même côté de son plan tangent. C’est ce qui a lieu en tout point d’un ellipsoïde. |

2° SiR,et R, sont de signes contraires, R peut changer de signe.

Les deux directions correspondant aux racines de Péquation

I SE donnent — — 0. On les appelle les directions asyÿmpblotiques, pour

une raison que nous indiquerons au n° suivant, et les tangentes

correspondantes sont les fangenltes aux directions asymplotiques. La

surface n'est pas tout entière du même côté de son plan tangent et l’on dit qu’elle est à courbures opposées au point M. C’est ce qui arrive en tout point d’un hyperboloïde à une nappe.

3° Un cas intermédiaire entre les deux précédents est celui où l'une des courbures principales, 1 : R, par exemple, est nulle. II

vient alors

La surface est située tout entière du même côté de son plan tangent, mais R croît à l’infini pour w — 0. C’est ce qui arrive en tout point d’une surface cylindrique dont la section droite est sans inflexion.

Enfin, il faut signaler le cas particulier où les deux rayons de courbure principaux sont égaux. Alors toutes les sections normales

ont même courbure. Un tel point s’appelle un ombilic de la surface.

368. Indicatrice de Dupin. — On représente géométriquement la variation du rayon de courbure quand le plan de la section tourne autour de la normale, par la construction suivante : On porte sur la tangente à la section une longueur MT égale à la racine carrée de la valeur absolue de R; le point T décrit dans le plan tangent une courbe, appelée indicalrice, qui figure la variation de K. La nature de cette courbe dépend de celle du point M.

1° Si R, et R, sont de même signe, KR est toujours de même signe aussi, par exemple positif. Alors les coordonnées du point T sont x = J/ KR cos w, y — J/R et l’indicatrice est une ellipse

R, R On dit, dans ce cas, que M est un point elliptique. 2°: Siél'une des courbures principales re OR par ER emMpIe nest nulle, l’indicatrice est dite parabolique et devient un système de deux droites parallèles, à savoir (en supposant R, positif)

On dit, dans ce cas, que M est un pois! parabolique.