COURBURE. INDICATRICE
3° Si R, et R, sont de signes contraires, R est positif quand MT tombe dans l’un des angles entre les directions asymptotiques, et négatif dans l’autre angle. Les coordonnées du point T sont, suivant le cas, x = W/ÆR cos w, y = W/Æ+HR sin w. L’indicatrice se compose de deux hyperboles conjuguées
HR De Le RE MT TN
et les directions asymplotiques sont celles des asymptotes de lindicatrice, ce qui justifie leur nom. On dit alors que M est un point hyper bolique.
On peut faire apparaître autrement le rapport de lindicatrice avec la forme de la surface autour du point M. Rappelons que le point M a été pris comme origine des coordonnées et les tangentes aux sections principales comme axes des x et des y. Donc, si lon développe x par la formule de Maclaurin suivant les puissances de x
et de y, il vient (p, qg, s s’annulant à l’origine) : DT: 2 es < .
DU GUN CEE ns Ro:(n° "46 )
He eue NETR, RU
Coupons la surface par deux plans parallèles, x = + /, à la distance infiniment petite ! du plan tangent : — 0. Les sections auront pour équations approchées, en négligeant les termes d’ordre
supérieur au second,
D'où la conclusion suivante :
Si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin du point de contact, la courbe d’intersection est sem-
blable à l’indicatrice de ce point.
369. Détermination de la nature d’un point en axes rectangulaires quelconques. — Supposons maintenant que le
point M(X, }, ?) occupe une situation quelconque par rapport aux axes. La formule (3) nous donnera, pour la courbure d’une section normale quelconque au point M, et avec la mème convention que
précédemment (n° 365) sur le signe de R,
I ra” + 254$ + 15°
(7) RE re , Per ant
Les trois cas à distinguer quant aux variations de signes de 1 : KR
quand on fait varier x : &, s’aperçoivent encore immédiatement, car elles tiennent aux propriétés du trinome ra + 250$ + 15°.
1° Si ri — 5° > O, le trinome et par suite R ont un signe invariable et ne peuvent s’annuler. Le point M est elliptique.
2° Sirl — 5° — 0, le trinome peut s’annuler mais ne peut changer de signe, le point M est parabolique. Tels sont tous les points d’une surface développable.
3° Si ri — 5° < 0, le trinome et R peuvent changer de signe, le point M est hyperholique.
Les asymptotes de Pindicatrice (n° 368) correspondent aux directions pour lesquelles la courbure d’une section normale est nulle. Les directions asymptotiques sont donc définies par l'équation :
. ra + 2508 + 18 — 0, qui est l’éguation aux directions asymptotiques.
Pour former l’équation de la projection de l’indicatrice sur le plan xy, les axes étant supposés transportés parallèlement à eux-mêmes au point M, il suffit de poser à = 24/R, y — 8p/R et d'éliminer 2, © de l’équation (7). Il vient ainsi
6 em 20 D oi DES ORNE ARE
370. Détermination des sections et des courbures principales. — Les courbures principales sont les maximé et minimé de 1 : R considéré comme fonction du rapport & : &. Or, pour
une section normale, nous avons, par la formule (7),
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