COURBURE. SECTIONS PRINCIPALES

Mais, comme on a e A Enr 2 5 QE 1e L D DA ou Me A) Le l’équation précédente peut être remplacée par une autre où n’intervient plus que le rapport « : 8, à savoir

A0 AE, | 8} CRE pi ie + gé) = ra + 2548 — if".

de sorte que les maximé et minimé de 1 : R peuvent se déduire de cette relation où les variables x, £ sont considérées comme indépendantes. Il faut, pour cela, tirer de cette relation les dérivées de 1 : R par rapport à « et à 6 et les annuler séparément. Il est clair que cela revient à dériver l’équation précédente par rapport à «

puis ÿ séparément, en traitant R comme une constante, ce qui donne

ANDRE JU l 8 + g Ca +98)

R7 sx + 16, c’est-à-dire

D CPRr Pie) 0 Mega ge) (8) ra + 58 Me sa + if Te

L'égalité des deux premiers mémbres constitue une équation du second degré qui donne deux valeurs pour le rapport à : 8. Elle fait connaître les directions des tangentes aux sections principales.

Toutes réductions faites, elle devient

(9) #Cs(1Ep*)— par] alé +9) sr") pat] = 0.

D'autre part, si l’on élimine x : $ entre les deux équations (8),

on forme l’équation du second degré qui a pour racines les deux

courbures principales 1 : R, et 1 : R,, à savoir

DD ORNE CT EE pi) 2pys D (10) UE A TR) 0)

Remplaçant Z par sa valeur connue (n° 361), On conclut immé-

diatement de cette équation

(rome art + SAR TRE) AT pi) abs ER GIP R TR CPE

La dernière valeur divisée par 2 est celle de la courbure moyenne au point M; la précédente s’appelle la courbure totale de la surface en ce point.

REMARQUE. — On déduit facilement de Péquation (9) la condition pour qu'un point soit un ombilic (n° 367). Les sections principales

étant indéterminées, cette équation doit être identique, ce qui entraîne

r RP 2 l di MPa eve Ces deux équations caractérisent un ombilic. Elles constituent, avec celle de la surface, un système de trois équations entre %, y, 2.

Donc, en général, une surface n’a qu'un nombre linuté d'ombilics.

371. Formules d’Olinde Rodrigue. — Les équations (8) qui déterminent les sections et les courbures principales peuvent être présentées sous diverses formes plus simples ou plus symétriques.

Remplaçons-y d’abord x et & par les composantes proportionnelles 4x et dy d’un déplacement sur une direction principale ; elles peuvent s’écrire

AxX + px dy fe q dx AE

(2 ap aq Substituons à p et g leurs valeurs — X : Z et — Y : 7; il viendra DURS RES Zdy— Ya p LAX ENRNEL ENZNIE EN 2 ne

c’est-à-dire AXE RAIN ET dy RAM dr PR AZ, X WE Y "1 2 Mais chacune des fractions est nulle, car la somme des numérateurs multipliés respectivement par X, Y, Z est nulle, tandis que

celle des dénominateurs est un. On a donc (13) dx +RaX —0, dy + RaY =0, dx + RaZ = 0.

Ce sont les formules d’Olinde Rodrigue relatives à un déplacement suivant une direction principale. Elles se réduisent à deux

distinctes, car en multipliant par X, Y, Z et ajoutant on obtient une

identité.