COUREURES MOYENNE ET TOTALE
Les formules d’Olinde Rodrigue permettent de démontrer. le théorème suivant :
THÉORÈME. — Une surface dont tous les points sont des ombilics est une sphère (ou un plan).
En effet, toutes les directions étant principales, ces formules (13) doivent se vérifier pour des valeurs arbitraires de dx et de dy ; les
deux premières se décomposent donc dans les quatre suivantes :
ox PRO EN D oY Mae 0. OUR 0
Les deux formules du milieu montrent que X ne dépend que de x, et Y de y seuls; par suite, les formules extrêmes montrent que KR est constant. Les formules d’Olinde Rodrigue sont alors immédiatement intégrables, et on en tire (4, b, c étant trois cons-
tantes d'intégration)
D LU RY 0 7 0) d'où (x — a} E (y — b} + (x — c} = R*°.
Cette démonstration suppose R fini. On satisfait encore aux équations d'Olinde Rodrigue en faisant R = > et X, Y,Z constants.
Dans ce cas, la surface est un plan.
372. Expressions des courbures moyenne et totale à l’aide des cosinus directeurs de la normale. — L’équation, équivalente à (9), qui détermine les directions principales s’obtient en éliminant R entre deux des formules d’'Olinde Rodigue, les deux premières par exemple ; il vient
ax dY — dyaX = 0.
Pour former celle des courbures principales, supposons encore X et Y exprimés en fonction de x et de y. Les deux premières
“ir ra (13) s’écriront comme il suit :
Cr
L’élimination de dx : dy, nous donne alors
Ra one
)LEETE CRE) 0.
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% a 432 CHAPITRE XIII. LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE
Cette équation du second degré en 1 : R, équivalente à (10), est celle qui détermine les courbures principales. On en tire des expressions élégantes de la courbure totale et de la courbure
moyenne, à savoir
LATEX NO) ALL NELS D CA 100 RME DE R,R° 4,9); R; à Re Ôx je dy
Il sufht d'effectuer les calculs pour retrouver les valeurs (tt).
373. Courbure totale. — Gauss, à qui l’on doit la notion de courbure totale, a montré qu'on peut en donner une définition analogne à celle de la courbure des courbes planes.
Considérons, sur la surface S, une portion d’aire 5 sur laquelle 1 : RRQ ne change pas de signe. Par l’origine, menons un vecteur OP de longueur 1 parallèle à [a normale à la surface au point M (de coordonnées x, 7, +). Si M décrit os, le point P (de coordonnées X, YŸ, Z) décrit une portion de sphère d'air 5, etrétabliense que l’on appelle une représentation sphérique de l'aire 5. On dit que s, est la courbure totale de la portion de surface ©, et o, : o est sa courbure moyenne. Si l’aire + tend vers O autour d’un point M donné, la limite de la courbure movenne sera la courbure totale de la’ surface au point M. |
On vérifie immédiatement qu’on retrouve, avec cetté définition, la valeur 1 : R,R, indiquée au n° précédent. Soient, en effet, s’ ets,
les projections de s et de 6, sur le plan xy. On a
Û —\ dx dy 2 SP D A GA Va UNE 14 0e c'1 ras
Si l’on transforme la seconde intégrale en prenant x, y, comme nouvelles variables, c’est le champ d'intégration 5° qui correspond à s 4, et l’on trouve, en attribuant à 5, le signe + on — suivant
que la correspondance entre 5, et 5’, est directe ou inverse,
4 N dE VOTE De : 1. 4x dy:
RE A ARTE AA a AN AE TANT
