COURBURE

Donc, si l’on fait tendre s° vers O, on a effectivement, par l’appli-

cation du théorème de la moyenne à l'intégrale double,

à O, I lim —L —

(e KR, Fes

La définition précédente subsiste pour les surfaces développables où 1 : R/R, est nul partout. En effet, la courbure totale o, d’une portion quelconque s de surface développable est nulle. On s’en assure en observant que, la normale étant la même tout le long

d’une génératrice, le point P défini plus haut varie sur une courbe.

374. Surfaces à courbure moyenne nulle. — Les surfaces à courbure moyenne nulle portent le nom de surfuces minima, parce que toute portion d’une telle surface limitée par une courbe fermée est d’aire moindre que toute autre surface s’appuyant sur la même courbe. Nous ne démontrerons pas cette propriété ici, mais nous allons vérifier que la condition nécessaire trouvée au n° 288 pour qu'une surface soit d’aire minimum exprime précisément que sa courbure moyenne est nulle.

Les surfaces à courbure moyenne nulle sont caractérisées par l'équation (n° 372)

Si l’on observe que X et Ÿ sont précisément identiques aux quantités P et Q du n° 288, on reconnaît que cette condition exprime que la surface est d’aire minimum. C’est pourquoi on donne aux surfaces à courbure moyenne nulle le nom de surfaces minima. Si on limite par une courbe une portion quelconque d’une telle surface, l'aire de cette portion est moindre que celle de toute autre surface limitée par la même courbe.

En tout point d’une surface minima, les deux courbures principales sorit égales et de signes contraires, l’indicatrice est formée de deux hyperboles équilatères conjuguées et les directions asympto-

tiques sont rectangulaires.

Not rlE: 28

Ç 2. Lignes de courbure

375. Lignes de courbure et développée d’une surface. — Le lieu des normales à une surface le long d’une ligne (C) de celleci est une surface réglée qu’on appelle normalie et qui, en général, est gauche. On appelle lignes de courbure les lignes de la surface qui sont les traces de normalies développables.

D'après cette définition, toute ligne plane est une ligne de courbure de son plan, car la normalie correspondante est un cylindre. Toute ligne de la sphère est une ligne de courbure, car la normalie correspondante est un cône. Les méridiens et les parallèles des surfaces de révolution sont des lignes de courbure, car les normalies correspondantes sont des plans et des surfaces coniques.

Les normales à une surface forment une congruence particulière de droites (n° 355). Par chaque génératrice on peut faire passer deux normalies développables rectangulaires et, par suite, par chaque point de la surface on peut généralement faire passer deux lignes de courbure se coupant à angle droit. Occupons-nous d’abord de déterminer leurs directions et, pour cela, reprenons la question dès le début, sans nous occuper des résultats obtenus au n° 355.

Considérons, comme précédemment, la surface

et conservons toutes les mêmes notations. Les équations de la normale à la surface au point quelconque M(x, 7, x) sont E—x TH pC— D =D, ns + gx) = 0.

Elles dépendent de deux paramètres x et y. Pour que cette normale, en se déplaçant, engendre une développable (ou ait une enveloppe), il faut poser une relation y = :(x) telle què deux normales infiniment voisines se rencontrent (au premier ordre près). Les coordonnées £, », € du point de rencontre ou point focal, qui est celui où la normale touche son enveloppe, doivent vérifier les équations de la normale et leurs différentielles par rapport au para-

mètre qui sont

C2) dp — (ax + pr) = 0, C2 dg — (dy + gi) = 0,

et l’on en tire L | nu, DA AU EnTER (4) A dp Fe dq ;

Pour que ces équations soient compatibles, il faut que l’on ait

dx + bdz dy + qdx (5) l P CE < 7 5 dp dg C’est la relation qui définit la fonction y — (x), c’est donc

l’équalion différentielle des lignes de courbure. Si Von y remplace 42, dp et dg par leurs expressions en dx et dy, elle devient

EE) Cr + p°)dx + pq dy __ pqux + (+ )dy rax + s dy SHARE TN

‘équation (15) ou (16) coïncide avec celle (12) ou (8) qui définit les directions principales (n* 370 et 371). Donc les livues de courbure sont, en chaque point, tangentes aux seclions principales, et il y a, bar conséquent, deux familles de lignes de courbure se coupant à angle droit et formant sur la surface un système orthogonal.

Déterminons maintenant les points focaux sur la normale au

point M. L’ordonnée € d’un tel point se tire de l’équation (14), qui donne, en tenant compte de (12), 6 — x + R7, où R est l’un

des deux rayons principaux KR, ou R,. Donc les deux points focaux sur une normale sont les deux centres de courbure principaux correspondants.

Ainsi la surface focale de la congruence des normales est le lieu des centres de courbure principaux. On l'appelle aussi la surface des centres ou la développée de la surface proposée. Les arêles de rebroussement des normalies développables sont sur la surface des centres et en sont des géodésiques (n° 355). |

Les formules d’Olinde Rodrigue (n° 371) fournissent une forme commode des équations différentielles des lignes de courbure. Ces formules qui définissent les directions principales donnent, en eflet,

dx dy dx GT) DST ENT

Ce sont les équations différentielles des lignes de courbure, se

réduisant, comme on le sait, à une seule distincte.

On peut en donner une interprétation géométrique utile. Lorsqu'un point M décrit une ligne sur une surface, la direction de la normale à la surface varie. Si l’on mène, à partir de l’origine, un vecteur de longueur 1 parallèle à cette normale, son extrémité (de coordonnées X, Y, Z) décrit, sur la sphère de rayon 1, une courbe qui est une représentation sphérique de la ligne tracée sur la surface. Les équations (17) montrent que, si cette ligne est une ligne de courbure, les tangentes à la ligne et à sa représentation sphérique

aux points correspondants sont parallèles.

376. Théorème de Joachimsthal. — Jux surfaces qui se coupent suivant une ligne de courbure commune, font entre elles un angle constant ; et, réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, l'intersection ne peut être une ligne de courbure pour l’une sans l'être pour l’autre.

Ce théorème est une conséquence presque immédiate des formules d'Olinde Rodrigue que nous venons d'écrire (17). Si :deux surfaces S et S, se coupent suivant une ligne de courbure commune, ! les. cosinus directeurs X,.YŸ, Z+et X,,Y,, Z, vériñent tous den les mêmes équations (17) et l’on a, le long de la ligne commune,

POS MONET Ne DRE NV OANE AL Par conséquent, des relations immédiates XdX + YdY + ZdZ = X,aX, + Y,dY, + ZydZy = 0, on conclut aussi, les différentielles étant proportionnelles,

XX, + YdY, + ZdZ, = X,dX + Y,dY + Z,dZ = 0.

Considérons maintenant l'angle + des normales aux deux surfaces.

Nous concluons des deux relations précédentes

d cos 9 = d(XX, + YY, + ZZ)}, —=0; donc # est constant. |

Réciproquement, si l'intersection est une ligne de courbure de S, la relation Ë X,dx — 0, qui a lieu le long de cette ligne, se trans.

forme par les relations (17) en