CT NOTA

Ensuite, si + est constant, la condition d cos + — 0 se transforme, en tenant compte de Péquation précédente, en 2 'XAX y — 0:

On a d’ailleurs toujours PA

Donc 4X,, dY,, dZ, vérifñient, le long de l'intersection, ies deux mêmes relations 2 Xdx = 2 X,;dx = 0 que dx, dy et dx et leur sont, par conséquent, proportionnels : l’intersection est aussi une ligne de courbure de S,.

En particulier, toute ligne plane est une ligne de courbure de son plan. Donc, si une ligne de courbure est plane, son plan coupe la surface sous un angle constant. Pareillement, si une ligne de courbure est sphérique, la sphère qui la porte coupe la surface sous un

angle constant.

377. Surface des centres d’une développable. — Sur une développable, les deux systèmes de lignes de courbure sont les génératrices d’une part et leurs trajectoires orthogonales d’autre part. Celles-ci sont des développantes de larête de rebroussement et, par conséquent, leur détermination revient à la rectification de Parête, donc à une quadrature. |

La première nappe de la surface des centres est rejetée à l’infini.

L'autre nappe, qui correspond aux trajectoires, est la développable rectifiante de l’arêéte. En effet, le plan rectifiant de l’arête coïncide avec le plan normal à la développable le long de la génératrice, car il passe par la tangente à l’arête et est normal à son plan osculateur. Ce plan est le plan normal aux trajectoires. Donc la caractéristique du plan rectifiant est l’axe de courbure commun à toutes les trajectoires et est le lieu de leurs centres de courbure aux points où ces trajectoires coupent la génératrice considérée. Donc la surface des centres est bien l’enveloppe de ce plan. Il suit de là que ’aréte de rebroussement d’une développable appartient à sa développée et est une ligne géodésique de celle développée.

En particulier, si la développable est circonscrite à une sphère, le plan rectifiant (le plan normal le long d’une génératrice) passe par

le centre de la sphère et enveloppe un cône concentrique. Donc l’arêle de rebroussement d'une développable circonscrile à une sphère

est une ligne géodésique du cône concenirique.

378. Surfaces qui admettent un système de lignes de courbure circulaires. — Une surface qui est l'enveloppe d'une infinité simple de sphères, admet les caractéristiques de ces sphères comme sysième de lignes de courbure circulaires. Récibroquement, une surface qui admet un système de lignes de courbure circulaires, est l'enveloppe d’une infinité simple de sphères.

Le théorème direct est immédiat. La caractéristique d’une sphère enveloppée est une circonférence; et celle-ci est une ligne de courbure, car la normalie correspondante est un cône ayant son sommet au centre de la sphère enveloppée.

Réciproquement, si une ligne de courbure C est circulaire, la surface coupe le plan de cette ligne sous un angle constant en vertu du théorème de Joachimsthal (n° 376). On peut construire une sphère passant par la ligne plane C et coupant son plan sous le même angle, auquel cas cette sphère touche la surface le long de C. La surface est alors l’enveloppe de toutes les sphères analogues.

Lorsqu'une surface S est l’enveloppe d’une infinité simple de sphères, le centre de ces sphères décrit une courbe Il” et, par conséquent, une des nappes de la surface des centres se réduit à cette courbe, Nous allons établir la réciproque :

Si lune des nappes de la surface des centres se réduit à une courbe, la surface S est l’enveloppe d’une famille de sphères à un paramètre.

Par chaque point O de cette courbe |’, il doit passer une infinité simple de normales à la surface S. Ces normales coupent S suivant une ligne L, qui est une ligne de courbure (car la normalie est un cône). Le centre de courbure de cette ligne est le point O, lequel est fixe, de sorte que Parc 5 de la développée est nul. Comme 4R = do — 0, le rayon R est constant le long de cette ligne L, et la sphère de centre O et de rayon R touche la surface S le long de L : la surface est l’enveloppe de toutes les sphères analogues.

Lorsqu'une surface est l’enveloppe d’une famille de sphères, les

caractéristiques des sphères enveloppées forment le premier système de lignes de courbure. La détermination du second système de lignes de courbure dépend d’une quadralure. En effet, les normales à la surface sont celles à la courbe 1", et il faut former avec elles des normalies développables ou déterminer les développées de cette courbe gauche. Cette détermination dépend, comme nous le savons, datcaleuhde td MISurt la courbe La seconde nappe de! la surface des centres, lieu de ces développées, est la surface polaire

de la courbe |.

379. Surface canal. — Une surface canal est l'enveloppe d'une sphère de rayon constant R dont le centre O(a, b, c) décrit une courbe T. |

Considérons une représentation paramétrique de la courbe F, autrement dit, considérons 4, b, c comme fonctions d’un para-

mètre /{ sur cette courbe. La sphère a pour équation CDD EG D R

On forme celles de la caractéristique en joignant à celle-ci l’'équa-

tion (dérivée par rapport à /) Ga +G—DP +R =0

Cette caractéristique est un grand cercle de la sphère dont le plan est normal à L'. Donc la surface canal est aussi engendrée par un cercle de rayon constant, qui se meut de manière que son plan reste normal à la courbe V décrite par le centre.

Le cercle générateur de rayon constant R forme le premier système de lignes de courbure. Donc, sur une surface canal, l’un des rayons de courbure principaux, KR, est constant.

Réciproquement, une surface qui a un rayon de courbure principal constant est une surface canal. En eflet, soit L une ligne de courbure de rayon constant R ; le centre de courbure O correspondant sera fixe, car il décrit une développée dont Parc est nul (ds = d4R = 0). La sphère de centre O et de rayon R touche donc la surface le long de L : la surface est l’enveloppe de toutes les sphères

analogues de rayon R constant. On déduit facilement de là le théorème suivant :

THÉORÈME. — Une surface dont les deux rayons de courbure principaux sont constants est une sphère.

Il sufht de montrer que les deux rayons de courbure sont égaux en chaque point ou que tous les points sont des ombilics (n° 371).

Supposons, par impossible, R, et R, différents ; la surface sera de deux manières différentes une surface canal et les deux centres O, et O, décriront les courbes F, et [',. Aucune de ces deux courbes ne peut se réduire à un point, car, si l'}, par exemple, se réduit à un point fixe O,, la surface est une sphère de centre O, et R, = Ka. Mais il est impossible que O, et O, varient sur deux courbes, car la distance O, O, est une constante R, — R, et le point O,, qui est à distance donnée R, — R, de trois points donnés sur |}, est fixé par le fait même.

380. Cyclide de Dupin. — Une surface dont les deux systèmes de lignes de courbure sont circulaires est l'enveloppe d’une famille de sphères tangentes à trois sphères fixes. On donne à celle surface le nom de cyclide de Dupin.

Cette surface est de deux manières différentes enveloppe de sphères. Soient C;, C>, €; trois lignes de courbure du prenuer système : ce sont trois cercles le long desquels la surface touche trois sphères fixes S,, S:, S, (n° 378). Une ligne de courbure quelconque L du second système s'appuie sur C,, Cs, C, ; et la sphèreS qui touche la surface le long de L, touche les sphères fixes aux points, déirencontreude LraveciC AO ent MO EMEA l'enveloppe des sphères S (n° 378), ce qui prouve la proposition.

THÉORÈME DE MaNNHEIM. — La cyclide de Dupin est la transformée d'un tore par inversion.

L’inversion ou la transformation d’une figure par rayons vecteurs réciproques est une transformation de contact, jouissant de la propriété générale de conserver les tangences et les enveloppes et

ayant, en outre, la propriété particulière de conserver les sphères, les cercles et les angles (n° 338).

Soient 51, 53 et SA les trois sphères fixes tauchées par la sphère variable S qui enveloppe la cyclide. Dans le plan des trois centres de Si, So, 93, nous pouvons tracer un cercle C orthogonal à ces trois sphères. Son centre sera au point de concours des axes radicaux des trois grands cercles, intersections des sphères par le plan ci-dessus.

Prenons un pôle d’inversion sur le cercle C; ce cercle se transformera en une droite orthogonale aux trois sphères transformées et dont les centres seront, par conséquent, en ligne droite. La cyclide sera transformée dans l’enveloppe des sphères tangentes à trois sphères dont les centres sont en ligne droite, c’est-à-dire dans un tore. Les sphères qui engendrent la cyclide et qui touchent 200. s0nt en efet, transiormmees dans celles qui. touchentles

LEne OP Se Sr 0702

381. Transformations qui conservent les lignes de courbure. — Les transformations ponctuelles qui conservent les lignes de courbure sont celles qui conservent les sphères, el réciproquement (le plan élant considéré comme un cas particulier de la sphère).

La sphère est une surface dont toutes les lignes sont des lignes de courbure. Une transformation qui conserve ces lignes doit donc remplacer la sphère par une nouvelle surface jouissant de la même propriété et dont, par conséquent, tous les points soient des ombilics : une telle surface est encoré une sphère ou un plan (n° 371).

Réciproquement, une transformation qui conserve les sphères conserve les lignes de courbure, car nous allons montrer qu’elle conserve les directions principales. À cet effet, nous allons caractériser ces directions en un point par une certaine propriété des sphères tangentes à la surface au même point, propriété que la transformation ne peut altérer.

Prenons comme origine un point ordinaire M de la surface et rapportons-la à ses directions principales Mx et My et à sa normale Mz. L’équation de la surface prendra, aux environs de ce

point, la forme connue (n° 368)

AT RE AE FR LA ch, 15 2) + pe

VATS

les termes non écrits étant d'ordre plus élevé en x et 7. Coupons la surface par une sphère tangente au point M et de rayon KR. (considéré comme positif ou négatif au même titre que les rayons

principaux). L’équation de cette sphère est X° + 3° + (z R)° FLE R?:

d’où, en développant comme ci-dessus, EP PU Re ER ge AS ÉPMTR D RU RENE RU AR R APM

Si l’on soustrait cette équation de la précédente, on obtient celle

de la projection sur le plan tangent de l'intersection de la surface

par la sphère, à savoir, en multipliant par 2,

de ÊE se =) HE re ae EUR

Il y a trois cas possibles :

1° SiR est extérieur à l’intervalle (R,, R,), les deux coefhicients sont de même signe et cette courbe a un point isolé à l’origine : la sphère touche la surface à Porigine sans la couper.

2° Si R est intermédiaire entre R, et R,, cette courbe présente. un point double à tangentes distinctes : la sphère coupe la surface suivant deux courbes qui se coupent à l’origine.

3° SiR est égal à l’un des rayons principaux, par exemple R,, l'équation’se réduit à y: #".:1:—="0; Cette, Courbe présentes général, à l’origine, un point de rebroussement et est tangente à la direction principale : la sphère coupe la surface suivant deux lignes ayant une tangente commune (qui est la direction principale), S'il en est ainsi, cette propriété se conserve dans la transformée et y caractérise une direction principale.

Le troisième cas peut introduire exceptionnellement une singularité plus compliquée. Néanmoins une sphère tangente de rayon principal est toujours caractérisée par le fait qu’il existe deux sphères tangentes de rayons infiniment voisins du précédent dont l’une coupe et dont lautre ne coupe pas la surface. La direction princi-

pale correspondante est la limite de celle de la tangente à la section

faite par la sphère infiniment voisine qui coupe la surface. Ces propriétés se conservent dans la transformée et y caractérisent toujours une direction principale.

Cette analyse prouve, en même temps, qu’une sphère tangente en un point M d’une surface el ayant pour centre l’un des centres de courbure principaux, se transforme dans une sphère ayant encore pour centre l’un des centres de courbure principaux. Mais, en général, ces centres ne seront pas des points correspondants de la transformation.

La similitude, la symétrie, l’inversion et leurs combinaisons sont des transformations qui conservent les sphères, donc elles conservent les lignes de courbure. Il est facile de prouver que ce sont les seules. C’est un théorème de géométrie qu’il est inutile de développer ici.

On peut aussi démontrer que l’inversion conserve les lignes de courbure en utilisant les propriétés des cyclides. À cause de l’'importance du théorème, nous allons encore donner cette démonstration géométrique. Une ligne de courbure d’une surface est aussi une big

ligne, puisque la normalie est commune aux deux surfaces. Il suffit

ne de courbure de la développable circonscrite le long de cette

donc de prouver le théorème pour une développable.

Sur une développable, le premier système de lignes de courbure est constitué par les génératrices qui sont les caractéristiques des plans enveloppés. Celles-ci sont remplacées par les caractéristiques des sphères transformées des plans, qui constituent à leur tour Île premier système de lignes de courbure de la surface transformée, enveloppe de ces sphères.

Le second système de lignes de courbure est orthogonal au premier système pour les deux surfaces. Donc ils se correspondent

encore, puisque l’inversion conserve les angles.

382. Torsion géodésique. — Soit M, un point d’une courbe (C) tracée sur une surface. Construisons en ce point un trièdre trirectangle tangent à la surface, en menant la tangente M,T, à la courbe, la normale M,N, à la surface et une normale M,P, à la courbe dans le plan tangent et dans un sens tel que le trièdre

M,T,P,N, soit de rotation directe comme les axes coordonnés. Si

le point M décrit Parc M, M de longueur ds sur la courbe et vient en M, la normale MN fera avec le plan normal imitial MT, N, un angle infiniment petit div. On appelle /orsion géodésique de la courbe

au point M, et l’on représente par 1 : + le quotient limite

I dw

y. ds”

La torsion géodésique est positive ou négative en même temps que div, qui est lui-même considéré comme positif ou négatif selon que la rotation de la normale MN se fait autour de MT, dans le sens direct ou rétrograde relativement au trièdre défini plus haut.

Prenons ce trièdre comme système d’axes coordonnés, M,x sur MT, M,y sur M,P, et M; sur M,N,.Si l’on développe 7 par la formule de Maclaurin au voisinage de l’origine, on aura (p,, &

étant nuls)

SE (Ce m1 200 2) De at Elo ro D

(2) PRESSE SOUPE DER A CES Mais au point M de la courbe, extrémité de l’arc ds, on a, au prerersordre pres xt ds 0 "doncausse p = rods, GE Us

et les cosinus directeurs de la normale MN sont, avec la même

approximation, Reese ” —— er A SE ATUS, Vo is RENE

Ces cosinus sont les coordonnées (X, Y, Z) du point à la distance 1 de l’origine sur la normale MN, de sorte que Y est la distance de ce point au plan des x? (plan normal initial) ou le sinus de langle diw de la normale avec ce plan. Mais, au début, cet

angle est compté positivement en sens contraire des y; on a donc dé =Ssin OU} = ASS AS

et, par conséquent, I adw

ÿ ds

OREERNS AUS UN FLE SD RL NEA en ER 6 20 SR PIRE PA cf PARLE NA Ne Ve! Ps j” L EX

Ainsi, dans la formule (x), le coeflicient s, représente précisément la torsion géodésique dans la direction de lPaxe des x. Ce coeficient s, ne s’annule que si la surface est rapportée à ses directions principales ; donc, la lorsion géodésique est nulle pour les directions principales et pour celles-ci seulement.

Faisons maintenant tourner les axes des xy de 90° autour de la normale dans le sens direct : il faut remplacer dans l’équation (r) x par y et y par — x, et cela change seulement le signe de s; donc les torsions géodésiques relatives à deux directions rectangulaires sont égales et de signes contraires.

Proposons-nous maintenant d'exprimer la torsion géodésique en fonction des courbures principales et de l’orientation de la courbe (C).

L’équation de la surface rapportée à ses directions principales est

APE de) 40e Er Ro Ant

Supposons que la tangente à la courbe (C) fasse l'angle w avec la section principale d'indice 1. Amenons l’axe des x sur cette tangente par une rotation w des axes, ce qui nous ramène au cas précédent. Il faut, dans l’équation précédente, remplacer x et y par les valeurs

La torsion géodésique cherchée sera le coefhicient de xy dans

l'équation obtenue; il vient donc

I À ( I I ) amer 010 COS LE pe Ÿ KR, R;

Cette formule met aussi en évidence les deux propriétés de la torsion géodésique que nous avons énoncées ci-dessus.

REMARQUE. — Le plan osculateur à la courbe (C) en un point mobile sur la courbe tourne, comme la normale à la surface, autour de la tangente. La rotation de la normale à la surface par rapport au plan osculateur à la courbe est la différence entre les rotations

absolues de la normale et du plan osculateur comptées positivement

dans le même sens. La rotation absolue div de la normale est ds : +, celle du plan osculateur est ds : T'; donc la rotation db de la normale par rapport au plan osculateur à pour valeur

ds ds

ÿ TM

DORE On déduit de cette formule le théorème suivant :

383. Théorème. — Si deux surfaces S vers S° se coupent sous un angle Ÿ variable ou non, et qu'on désigne par 1 : y et 1 : y” les torsions géodésiques de la ligne d'interseclion relalivement aux deux

surfaces, on a, pour un déplacement sur celte ligne,