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aussi et l’intersection est une ligne de courbure pour les deux

surfaces.

384. Théorème de Dupin. — On dit que trois familles de surfaces :

F, (x, }, *> 2) *T 0, F; (x, DE € 6) ni 0, F, (x, Y, À) do) en, 0,

forment un système triple orthogonal, lorsque par chaque point passe une surface de chaque famille et que deux surfaces de familles différentes se coupent à angle droit.

THÉORÈME. — Les trois familles d'un système ‘triple orthogonal se coupent mutuellement suivant leurs lignes de courbure (Durnx).

Soient S,, Ss, S, les trois surfaces se coupant en M suivant les lignes dintersection C.:, C:,:C. La torsion géodésique de Ce; est la même sur S, et sur S; (n° 383); nous la désignerons par PR Chinois désISnetONSpar D iv et I: vi les-deux autres torsions analogues. Comme C,, et C3, se coupent normalement

sur S, au point M, on a, en ce point (n° 382),

—+—— —(0; de même,

ce qui exige que chacune des trois torsions soit nulle séparément. Donc les intersections sont des lignes de courbure des surfaces qui se coupent {n° 382).

Le théorème de Dupin fournit une nouvelle démonstration de la

propriété que possède l’inversion de conserver les lignes de cour-

bure. En effet, toute surface fait partie d’un système triple orthogonal, dont ses normalies développables constituent les deux premières familles, et la troisième famille est formée des surfaces

parallèles obtenues en portant des longueurs égales sur ses normales.

Dès lors, le théorème de Dupin met en évidence que : toute trans-

formation qui conserve l’orthogonalité conserve les lignes de courbure, et réciproquement (car les lignes de courbure se coupent à angle droit).

Le théorème de Dupin conduit aussi aisément, par la considération d’un système orthogonal, à la détermination des lignes de

courbure des quadriques à centre.

385. Lignes de courbure des quadriques. — Toute quadrique à centre fait partie d’un système triple orthogonal de quadriques

homofocales. Aïnsi la quadrique

fait partie de la famille homofocale na 3° RES à RENE 7 AUS RS

Or, par chaque point (x, 7, x) de l’espace, on peut faire passer trois quadriques de ce système, car les valeurs correspondantes-du paramètre À sont les racines de l’équation (2), qui est du 3° degré et dont les racines sont toujours réelles et comprises respectivement dans les intervalles (— =, C), (C, B) et (B, A) comme on s'en assure par les substitutions À = — =, C — :, C + s, B B + set À — :. Donc par chaque point passent trois quadriques du système : un ellipsoïde (À < C), un hyperboloïde à une nappe (CE < x < B) et un hyperboloïde à deux nappes (À > B). Ces trois

familles forment un système triple crthogonal. En eflet, les normales

res To

à deux surfaces (À) et (À”) en un point commun %, y, z ont pour coefhcients directeurs respectivement 3 NES z x À — }? BEA GE A—X

et la condition d’orthogonalité