GO

\ Sin œX Sin N

dx = | dx x JNx X

et, sous cette forme, on voit immédiatement que la convergence

est uniforme si & ne tend pas vers zéro, tandis qu’elle ne l’est pas si à tend vers zéro.

L'intégrale (3) est un exemple d’intégrale qu'il n’est pas permis O D de dériver sous le signe par rapport à a. L'intégrale étant une

constante, sa dérivée est nulle, tandis que la dérivation sous le signe

‘conduit à une intégrale indéterminée.

25. Intégrales de Frullani. — On donne ce nom à certaines intéorales dont la valeur se détermine par la considération d’une intégrale singulière. Soit f(x) une fonction continue de X pour x

positif, telle que l'intégrale à limite infinie, WC at

ait une valeur déterminée pour À > 0; soient ensuite 4 et b deux.

constantes positives ; l’intégrale

est une intécrale de Frullani. Pour en déterminer la valeur, écrivons

Æclit AE ane AA 7

E=1) LES CRAN b CES NRAR à J MS SEE La valeur de cette intégrale singulière s'obtient par le théorème de la moyenne. Soit £ une quantité comprise entre ds et b: et qui tend vers O avec :, on a

Wore lim f (2) \! = F0) Log n

D à | Der Par conséquent,

les | ( f(ax ba b | BC a fe 9 pu ACER Er AGE = f(0) Fee —, | ) . V0 Ê Enr.

LS Mau: Pat exemple, prenant f(x) = cos #, puis ore (x) = 67%, il vient (a > D PNR cos cos ox | Mer LE nerte ere | 3 (5) \ EC et Er se HP OON:

D: à 3 0: Ê 0 MA 5 : Souvent une intégrale peut se ramener à la forme Eee) par un ‘31e Pb lent de variables. Ainsi, par la relation æ = e—°, il vient Du - (a OR RS D) < | à Fe, La a ORNE RME le ee | x? — x e — b+I Le, { ON a > = [Op ET Ds. Los r o ? He “108 | EXERCICES

‘na pee s Fa ; £ JE CS F; .…. 2" r EP: se RENE s e—tx? x?" dx feu) L/* AE RER ED, Paie 2 ° d } 52 do JA | 2H 0 Etablir la relation Î 0 ” s iv ea + 9 f [l Te = | s ee? cos 2x dx = EE 8-0.