TE | # Î
LCR Soit [ cette intégrale. On prouve que dF FU
pet donné par la formule (x).
& On a, par la relation x = tg #,
n + « T Wa Marti ÉÉE LR PRELS +189) de — S Log 2. . ESA A I + x° *
DR. En effet, fr ot tg ») peut s’écrire ee cos (* — ): cos » et est,
VE # par conséquent, un produit de trois facteurs; donc l’intéorale peut se
Det et la RSS rose la valeur cherchée.
oil, d'oul=de "et
et | décomposer en une somme des trois autres. Les deux dernières se détrüi-
36 ÉHAËITRÉ I: INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
4. Déduire la seconde intégrale ci-dessous de la premicre : ? A
2 2 PR AT RE 22 De Ve pa x? 2 … A emanys VC S)a eo 01e [0] [ :
R. On intègre par rapport à x de a à b change x en 1 : x.
s. Montrer que l’on a, si a > O,
et (x + 2) ERA re L déohre ha 7 y 0 0
R. Les deux relations sont équivalentes. La seconde intégrale a pour demi-dérivée par rapport à a l’expression
© 2 ReE FAN d \e (x- £) AXE \ e(x-2) a dx Cu o 0
qui est nulle, car ces deux intégrales se détruisent (elles se raménent l’une
à l’autre en changeant x en a : x). La seconde des deux intégrales proposées est donc constante par rapport à a et on la détermine en posant a = 0.
pe)
6. Montrer (en développant en série par rapport à a) que l’on a
NS sin x T s \ den pe Nes dt CUS (a Se) } O * 2 0
Le
7. Montrer, en développant Log (1 + x) en série potentielle, que l’on a M" dx \ (Bof On ne PER NL TER a ta PARU Te La La série numérique revient, en effet, à
2, n° 2 IP?
s, Valant 7° : 6 (no 398).
\ 3. Passage à la limite sous ie signe d'intégration
26. Considérations préliminaires. — La considération de la convergence uniforme fournit un criterium très simple pour justifier le passage à la limite sous le signe d'intégration. On a, en eflet, le
théorème suivant :
