RÉSEAUX CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES

Ç 3. Réseaux conjugués. Lignes asymptotiques

386. Directions conjuguées. — Deux tangentes en un point M d’une surface sont conjuguées si elles coïncident avec deux diamètres conjugués de l’indicatrice et l’on dit qu’elles ont des directions conjuguées. En vertu des propriétés des coniques, il n'existe en chaque point d’une surface (hormis les ombilics) qu’un seul système de deux directions conjuguées rectangulaires, ce sont les directions principales. D'autre part, une direction asymptolique est une direction qui coïncide avec sa conjuguée.

Proposons-nous de déterminer, en projection sur le plan xy, la relation qui lie les coefficients de directions dy 4x etopNISAaUe deux directions conjuguées au point M(x, y, ?) d’une surface. Les

axes étant supposés transportés parallèlement à eux-mêmes en ce

point, nous savons que la projection de l’indicatrice sur le plan xy

a pour équation (n° 369) SR SV LP 7 LACER PE

Mais une projection parallèle (conservant la ligne de l’infini)

conserve les directions conjuguées, les projections des directions conjuguées sont donc conjuguées par rapport à la conique précé-

dente et, par conséquent, elles sont liées par la relation TdXÈX EE (dx dy E dyèx) + rdy >y — 0, qui peut s’écrire plus brièvement dpèx + dgdy = 0.

Tel est la relation qui lie deux directions conjuguées (4) et (à).

387. Théorème.— Quand le point de contact varie le long d'une courbe (C) sur une surface, la caractéristique du plan tangent est, en chaque point de contact, la tangente conjuguée de celle à la courbe (C).

Soient X, y, ? les coordonnées d’un point M de la courbe (C), lesquelles sont fonctions d’un paramètre sur cette courbe. La

caractéristique du plan tangent en ce point est définie par l’équation