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du plan tangent et sa dérivée par rapport au paramètre, à savoir (puisque dz = pdx + qdy)
Capa) Fate); Œ— x) db + En — y) dg = 0,
La seconde relation est l'équation de la projection de la caractéristique sur le plan xy. Son coefficient de direction èy : èx est — dp : dg et satisfait, par conséquent, à la relation qui lie deux directions conjuguées. |
Le plan tangent le long de la courbe (C) enveloppe une surface développable. Le théorème précédent admet donc l’énoncé suivant : Si une dévelopbable est circonscrite à une surface, la générairice et la tangente à la courbe de contact forment, en chaque point de celte courbe,
un système de deux tangentes conjuguées.
388. Transformations qui conservent les directions conjuguées. — La définition des directions conjuguées est projective et dualistique, c’est-à-dire que deux directions conjuguées restent conjuguées après une homographie ou une transformation par polaires réciproques.
Ces deux propriétés se déduisent aisément du théorème précédent, Si l’on considère une famille de plans tangents le long d’une courbe (C) sur une surface (S), l’homographie les transforme dans les plans tangents le long de la ligne correspondante, et les caractéristiques des plans se correspondent; donc l’homographie fait correspondre les directions conjuguées de la nouvelle surface à celles de la première.
Faisons maintenant une transformation par polaires réciproques. Elle transforme la surface (S) dans une surface (S”), la courbe (C) dans une développable (A7) circonscrite à (S”), et la développable (A) circonscrite à (S) dans la ligne de contact (C’) de la nouvelle développable (A”). Donc les génératrices de la nouvelle développable correspondent à la tangente à (C), et les tangentes à la nouvelle ligne de contact (C’) aux génératrices de la première développable : donc à deux directions conjuguées correspondent encore deux directions conjuguées.
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Ce
RÉSEAUX CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES 4S i
