Réseaux conjugués. — Supposons que deux familles de
courbes tracées sur une surface soient telles que deux courbes de
| S familles différentes se coupent en chaque point de la surface ; on dit
qu’elles forment un réseau conjugué si, en chaque point, les tangentes aux deux courbes qui se coupent sont conjuguées. Ainsi ces réseaux sont projectifs et dualistiques comme les directions conjuguées elles-mêmes. ;
Il existe sur toute surface une infinité de réseaux conjugués, car si l’on a tracé une première famille de lignes ne se coupant pas entre elles sur la surface, on peut déterminer une seconde famille de lignes coupant partout les précédentes suivant la direction conjuguée. Cette détermination dépendra, en général, de Pintégration
de l'équation du premier ordre qui lie les directions conjuguées r dx Èx + s(dx dy + dydx) + Édydy = 0,
où ày : dx est le coeflicient angulaire sur le plan xy de la projection des courbes de la famille donnée, coefficient connu en fonction de DOUÉ |
Si l’on intègre cette équation, on obtient celle de la famille con-
jJuguée avec une constante arbitraire.
Il existe un théorème remarquable, qui est dû à M. Koenigs et
qui permet de former, sans intégration, sur toute surface, une
, infinité de réseaux conjugués.
THÉORÈME DE M. KozniGs. — La famille de courbes planes oblenues en coupant une surface par un faisceau de plans passant par une droite fixe, admet pour lignes conjuguées les lignes de contact des cônes circonscrits à la surface et dont les sommets sont sur la droite fixe.
Ce théorème est une conséquence presque immédiate de celui
> du n° 387. La génératrice du cône est conjuguée à la direction de
la ligne de contact; mais, comme elle est dans le plan de la section, elle est la tangente à cette section : donc les deux tangentes sont
conjuguées.
© 890. Lignes asymptotiques. — Les directions asymploliques
sont celles qui sont conjuguées à elles-mêmes : leur définition est
donc projective et dualistique. La relation trouvée (386) entre les directions conjuguées dy : dx et dy : 2x est
r ax x + s(d4X dy + dydx) + tdyèy = 0.
Si la seconde direction coïncide avec la première, on retrouve
l'équation connue des directions asymptotiques rAX as ax dy 4V = 0;
Les lignes asymptotiques sont celles qui ont, en chacun de leurs points, une direction asymptotique (ou qui touchent en chaque point . les asymptotes de lindicatrice). L’équation précédente est donc leur équation différentielle.
En se reportant aux formules du n° 364, on constate que les lignes asymptotiques sont celles dont la courbure normale, cos 0 : KR, est constamment nulle. En particulier, joute droite située sur une surface est une ligne asympiotique de celle-ci.
Si les points d’une surface sont hyperboliques, l'équation précédente donne deux valeurs pour dy : dx. Elle définit deux systèmes de lignes asymptotiques se coupant sur la surface. Si tous les points sont paraboliques, la surface est développable et elle n’a plus qu'un seul système de lignes asymptotiques : ses génératrices rectilignes. Si les. points sont elliptiques, il n'y a plus de lignes asymptotiques réelles.
6 4. Extension des formules aux coordonnées curvilignes Déformation des surfaces
391. Coordonnées curvilignes. — Une surface est représentée en coordonnées curvilignes (ou sous forme paramétrique) lorsque ses trois coordonnées X, y, ? sont exprimées en fonction de deux paramètres #, v qui varient dans un certain domaine. Nous supposerons toute condition de continuité et de dérivabilité remplie
dans ce domaine. Les équations de la surface sont alors de la forme
() X, F4 (4, v), ) rue (u, v), RDS (u, v).
