COORDONNÉES CURVILIGNES

Les variables #, v sont appelées coordonnées curvilignes, à cause de la représentation géométrique que l’on peut en donner. Pour cela, on trace sur la surface les deux systèmes de lignes # = const., v — const. On observe, en effet, que quand on fixe l’une des variables #, v, le point (X, y, x) qui satisfait aux équations (x) décrit une courbe sur la surface. Un point de la surface est défini par les paramètres #, v des deux courbes qui se coupent sur lui. Toutefois le système de coordonnées w, v n’est pas complètement défini par les courbes de la surface, car ces courbes ne changent pas si l’on remplace # et v par de nouvelles variables #, et v, fonctions d’une

seule des premières respectivement, #, — %,(u), v, — %(v).

392. Notations et paramètres. — Nous conviendrons de désigner les dérivées partielles de x, y, z par rapport à # au moyen de lindice r, celles par rapport à v par l'indice 2, ces indices pouvant se superposer comme les dérivations. Nous posons donc, en

abrégé, DES d°x ATEN ETS Ôu 4 GR IL Gudu 12 5 a en sorte que OX NO UIEE EXO AUS dy = y;du + Yadv,.….

Nous définissons alors les paramètres suivants (les sommes

désignées par X s’étendant à X, y, 7) :

Bo Dr Rx Get

À — Vi%5 — Jo B = 7,%X9 — %X1; C = X1Y9 — XaVi- HA AE LB ER CU ECG ET

Nous remarquons que H ne peut s’annuler en un point ordinaire, car l’une au moins des quantités À, B, C est différente de 0. Nous

posons ensuite

__ AXu + Byi1 + Crus Me 2 AX 9 tre D 'AX99,

L H : Fins FAR

ou, sous forme de déterminants,

surface dont la normale principale fait, avec la normale à la surface,

l'angle V, se tire de la formule (:) du 367 Cest

AL = | Xus Yan nu] HM=) Xi Vie ol UN = | Xe Je te | Xi Ji Vocl MMN dA LACS & à & le 9e 10 | 20 NES

Les cosinus directeurs de la normale sont : X — van HAE -B: H? 5 se

— C : Het, avec la convention sur le sens de la normale faite À au n361, il faut donner à H le signe de C.