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395. Lignes conjuguées et asymptotiques. — Si l’on compare l’expression précédente de 1 : R à celle que donne la for-

mule (2) du n° 361, on en conclut l'identité en du, dv

rdx* + 254x dy + tdÿ”

———— —= Lau + 2M du dv + N dv”, PATENT RETE

qui doit résulter de la substitution linéaire OX =z Xj du Xe lv, dy = y;du + Yadv.

En égalant le premier membre à l’unité on obtient, en coordonnées dx, dy, la projection de l’indicatrice sur le plan x, y et les directions conjuguées se conservent en projection. Or, la conique

représentée, en coordonnées du, dv, par l’équation Ldu* + 2Mdu dv EN dv = 1

se déduit de la précédente par la substitution linéaire qui précède et qui fait correspondre les directions conjuguées dans les deux coniques. Donc les directions conjuguées de la conique en du, dv correspondent encore aux directions conjuguées sur la surface. Les coefhcients (du, dv) et (èu, dv) de deux directions conjuguées de la surface sont, par conséquent, liés par la même relation que

sur la conique, à savoir Ldudu + M(dudv + dudu) + N dudv == 0.

Telle est donc aussi la relation différentielle entre les deux familles d’un réseau conjugué sur la surface. |

Les directions asymptotiques sont les directions qui coïncident avec leur conjuguée. .On obtient l'équation aux directions asymptotiques, ou l'équation différentielle des lignes asymptotiques, en identifiant les

deux directions conjuguées dans la formule précédente. Il vient ainsi

Ldu* + 2Mdudv + Ndv° = 0.

396. Surfaces applicables; déformation des surfaces. — Deux surfaces S et S, sont dites applicables lune sur l’autre quand on peut établir entre leurs points une correspondance telle que les arcs de deux courbes correspondantes aient même longueur sur les deux surfaces.

Si les coordonnées x, y, z des points de la surface S sont exprimées en fonctions de deux paramètres u, v, les coordonnées £, n, € des points correspondants de la surface S, seront des fonctions

des mêmes paramètres. Nous pouvons donc supposer que les