PASSAGE A LA LIMITE SOUS LE SIGNE

THÉORÈME. — Si une suite de fonctions continues de x : f,(x), f(x), f(x), converge uniformément dans un intervalle fini (a, b) vers une fonction limite f(x), on a

ob 4) lim \ CEUX Fa SAGE

En eflet, f(x) est continue, donc intégrable; d'autre part, la différence | f — f, | devient inférieure à tout nombre positif : quand n augmente suffisamment. La différence des deux membres de la relation précédente est donc de module moindre que

ot erb lim |f— f, | dx < \ e dx = &(b — à).

Ja Ale

Elle est donc inférieure à tout nombre donné et, par conséquent, elle est nulle.

Les théorèmes sur l'intégration des séries et des intégrales uniformément convergentes ne sont que des cas particuliers du précédent ; et le théorème précédent est lui-même un cas particulier d’un théorème plus général, dû à M. Oscoop, et que nous allons main-

tenant établir. Nous utiliserons pour cela le lemme suivant :