Lemme. — On considère une suite illimitée d’intervalles
formés suivant une loi assignée,
tous contenus dans un intervalle (4, b). On peut alors énoncer le
NN N 1] DD»... Om:
lemme suivant :
S'il existe un nombre w > O tel que l’on puisse, quel que soit b donné, trouver dans la suite un nombre limité d’intervalles d’indices > p, non empiétants et dont la somme des longueurs soit > w, alors 1l existe au moins un point commun à une infinité d’inter valles de la suite.
Dans la démonstration, nous admettrons que tout intervalle de la suite (1) qui n’est pas contenu dans l’un des précédents, a, au plus, un point commun avec lui. Cette hypothèse est légitime, car on peut la réaliser en modifiant la suite sans rien changer aux condi-
tions du théorème. On peut, en effet, de proche en proche,
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décomposer à, d,... en parties à satisfaisant aux conditions précédentes et que l’on écrit successivement, à la suite lune de Pautre, en place de à,, à,,..., avec une nouvelle numérotation.
Convenons de dire qu’un intervalle 3 (ou un groupe de plusieurs intervalles 3) de la suite (1) est privilégié si l'on peut lui faire correspondre un nombre & > 0, tel que, quel que soit p donné, on puisse trouver dans la suite un nombre limité d’intervalles d'indices > p, contenus dans ce à (ou ce groupe, de 3), non empiétants et dont la somme des longueurs soit > &.
D’après cette définition, si à n’est pas privilégié, toute somme d’intervalles d'indices > p, contenus dans à et non empiétants, tend vers Ü quand p tend vers l’mfini. Donc un groupe de plusieurs intervalles non privilégiés ne l’est pas non plus; et si un groupe est privilégié, 1l contient un intervalle privilégié.
Cette remarque permet de montrer que {out intervalle privilegié en conlient un autre de même nature. En effet, supposons que à, soit privilégié et que la suite (1) ne renferme que des intervalles contenus dans à,, ce qui est légitime, car il est évidemment permis de supprimer les autres intervalles. Deux cas sont possibles :
1° On peut former un groupe de À intervalles à,, 3,,... contenant tous les suivants; alors ce groupe est privilégié et contient un intervalle privilégié.
2° Dans le cas contraire, la mesure d’une somme d’intervalles non empiétants de la suite à,, 2,,... a une borne supérieure L & à,. On peut donc former un groupe d’intervalles non empiétants de mesure > L — : : 2. Alors ce groupe est privilégié (avec substitution de : 2 à =), car toute somme > : d’intervalles non empiétants contenus dans à,, renferme une somme > « : 2 d’intervalles contenus dans ce groupe. On est ramené au cas précédent et la proposition soulignée est établie.
La démonstration du lemme s'ensuit. Plaçons lintervalle (4, b) en tête de la suite (x) : cet intervalle est privilégié. Donc il y a, dans
la suite (x), un premier intervalle privilégié à’, puis un premier
intervalle privilégié à
LE
contenu dans 2’, un premier intervalle privi-
légié 3” contenu dans 2”, etc. Ces intervalles emboîtés, en nombre
