Théorème d’Osgood. — Considérons une suite de fonctions

continues

Ji@x), LE CRIE nt CAE.

bornées dans leur ensemble, c'est-à-dire quels que soient n et x, quand x varie dans un intervalle (a, b). Si celte suile tend vers une limite f(x) continue dans le même intervalle, on a

b lim \ HT \ FX} dx:

Remarquons que les différences f — f, sont continues et bornées

et ont pour limite zéro; ensuite que l’on a

pb Pb OU hDux) <\ ff, lux Posonsc = | f 7j; | ; le théorème sera établi si l’on prouve que

lon a

sous la condition que la suite des fonctions positives, continues et bornées dans leur ensemble, ©,, »,,... #,,...tende vers zéro. Faisons donc cette démonstration.

Soit < positif donné. Partageons (4, b) en parties égales, assez

= Le

petites pour que l’oscillation de w, soit < ; dans chacune d’elles,

de sorte que le nombre de ces parties a dér#iSoit 0) l’ensemble des parties en un point desquelles +, surpasse + et aussi la somme des longueurs de ces parties. Je dis d’abord que w, tend vers zéro quand # tend vers l'infini. En effet, #, est > + : 2 sur tout «w,. Si w, ne tendait pas vers zéro, il y aurait une infinité d'indices pour lesquels w,, surpasserait un nombre assignable © > 0.

Si donc on écrit dans une suite illimitée :

SN N N (AR IMPR ER Etes

À 12 ag" “ue TPE

l'intervalle (4, b), puis les intervalles qui composent «w,, ceux qui composent w,,..., l'intervalle (4, b) de la suite serait privilégié au sens du lemme précédent. Donc il y aurait un point commun à une

infinité d’intervalles à; en ce point, il y aurait une infinité de,

surpassant « : 2 et w, n'aurait pas pour limite zéro. Donc w, tend”

vers Zéro.

Ceci établi, soit » la borne de tous les ©,; comme +, ne surpasse : que sur une longueur < w,,, on a, par le théorème de la

moyenne,

QU

\ ph dX < po, + € (b — à).

Quand 7 tend vers lPinfini, cette intégrale tombe au-dessous de : (b — a) qui est aussi petit qu'on veut ; elle a donc pour limite zéro.

COROLLAIRE. — Le théorème précédent subsiste s1 la fonction limite f(x), au lieu d’être partout continue, admet un nombre limité de points de discontinuité entre d et b. |

On peut admettre qu'il n’y ait qu’un seul point de discontinuité b. Alors le théorème est établi pour l’intervalle (4, b — :) quelque petit que soit <. Mais f et f, sont bornés dans tout (a, b), donc les intégrales de f et de f, sont infiniment petites avec « dans Pintervalle (b — <, b) et, par conséquent, le théorème subsiste, à la

limite, dans l'intervalle (4, b) tout entier.

CEPAXPTELREON

Intégration des différentielles exactes Intégrales curvilignes

( 1. Intégration des différentielles totales exactes

29. Différentielles totales à deux variables indépendantes. — Soient x et y deux variables indépendantes, P(x, y) et Q(x, y) deux fonctions, continues et univoques ainsi que leurs dérivées partielles P', et Q’.. On dit que l'expression Pdx + Q dy est une différentielle exacte s'il existe une fonction # des deux variables x et y dont cette expression soit la différentielle totale,

en sorte que l’on ait (1) du= Pdx + Q dy.

En général, l’expression P dx + Q dy n’est pas une différentielle

exacte. En eflet, la relation (4) revient, par définition, aux deux

suivantes :

Ou Ou ET Qi DE d’où l’on tire OP __ d'u 0Q d'u dy dvd dx do

Les seconds membres étant égaux (puisqu'on les suppose continus), on voit que P dx + Q dy ne peut être une différentielle exacte que si lon a identiquement, c’est-à-dire x et y restant arbitraires et

indépendants, (2) dy CFE

Cette condition est nécessaire pour que Pdx + Q dy soit une différentielle exacte. J’ajoute qu’elle est aussi suffisante et, pour le prouver, je vais montrer que, si elle a lieu, l'intégrale # de l’équa-

tion (x) s'obtient par deux quadratures.

42 CHAPITRE Il. INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES

La fonction inconnue # est d’abord assujettie à la condition

Ou |

er

Soit 4 une constante choisie à volonté, l’intégrale définie > * | P(e, 9) de,

effectuée en considérant y comme une constante, est une solution particulière de cette équation. La solution générale s’obtient en lui ajoutant une constante arbitraire par rapport à x, c’est-à-dire une fonction arbitraire #(y). Nous poserons donc RU

(3) = | PGe y) dx + e(y).

| 1 Il reste à déterminer, si c’est possible, la fonction ; de manière

vérifier la seconde condition

c’est-à-dire, à cause de (3) et par la rèelé de Teibnzz, FAP er | se + #U) = Ole, 3) a OY Mais on a, en vertu de lidentité (2) supposée vérifiée,

COe F'AUO Ur \ er A EE \ js iv Qi 7) En Q (a, ae

ce qui réduit la relation précédente à

Cu) OA, M OS) FA Q{(a, 3) dy

Enfin, en substituant cette valeur de + dans (3), et en mettant en’

évidence la constante C comprise dans l'intégrale indéfinie, on trouve : NX

(4). u = \ P(x. 3) dx" \ Q (a, y) dy C. ,

ñ ce : ) 1 { L On voit donc que, si la condition (2) a lieu, l'équation (x) admet une infinité d’intégrales ne différant l’une de l’autre que par la

valeur de la constante d'intégration C.