INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES

La constante 4 pouvant être prise à volonté, on la choisira, dans chaque cas particulier, de manière à simplifier autant que possible les intégrations.

Il est clair qu’on aurait pu procéder dans l’ordre inverse et commencer l'intégration par rapport à y. Alors, b désignant une

constante choisie à volonté, on aurait obtenu y (5) He \ Q (x, y) dy + \PGx, b) dx + C.

b Le

ExEMPLE. — L'expression G 1: + 2 7) dx + 2) (x + Y) dy

est une différentielle exacte, car on a

® Calculons son intégrale en faisant 4 — 0 dans la formule (4);

il vient

° x u = (30%4-272y) d2, \ 27 dy = 2% + 2xy + ÿ* + €.

30. Remarque. — Les formules (4) et (5) supposent les fonctions P et Q continues et univoques ainsi que leurs dérivées premières pour tous les systèmes de valeurs de x, y qui interviennent dans les formules. Si ces conditions sont réalisées dans tout le plan, il n'y a aucune difhculté. Plus généralement, si elles sont réalisées dans le rectangle R compris entre les abscisses 4, et d,, les ordonnées b, et b,, la formule (4) est applicable dans ce rectangle à condition de choisir & entre 4, et 4,, et la formule (5) à condition de choisir b entre b, et b,. En effet, tous les systèmes de valeurs de x, y à considérer dans ces formules restent alors compris dans le rectangle R. | Ces formules mettent en évidence que, pour chaque valeur de la constante arbitraire C, Pintégrale u<est une fonction continue et univoque de x et de y dans le rectangle R où ces conditions sont

réalisées.

31. Cas de trois variables indépendantes. — La méthode précédente s'étend à un nombre quelconque de variables indépendantes, mais il sufhra de développer les calculs pour trois variables, Soient P, Q, KR trois fonctions de x, j, 7, continues ainsi que leurs

dérivées premières. On dit que l'expression (6) Pdx + Qdy + Rdz

est une différentielle exacte, s'il existe une fonction # des trois variables æ, y, + dont elle soit la différentielle totale. Il faut pour

cela que # satisfasse aux trois équations :

Comme les dérivées secondes (supposées continues) sont indépendantes de l’ordre dans lequel on effectue les dérivations, on obtient trois conditions nécessaires pour que l'expression proposée soit une différentielle exacte, à savoir

ln 2 PGO AO MORE D Sy de à ÿ. œ à

Ces conditions sont aussi suffisantes, car nous allons montrer que si elles ont lieu, intégrale # de l'expression (6) s’obtiendra par des quadratures.

En effet, cette intégrale a d’abord P comme dérivée par rapport

à æ, donc elle est comprise dans la formule générale

(8) He \ P(x, EMONRT SE (y, 2),

où « est une constante choisie à volonté, et v une fonction arbitraire AE USE ter Pour que ait l’expression (6) pour différentielle totale, il faut

encore que l’on ait

Ou (9) &y dy + su dz = Qdy + Raz.

Mais on a, par la règle de Leibniz et en observant que P',, étant

identique à Q°,, s’intègre immédiatement,

°+ 9P de de A) UD Érie MOVE A VE DEN nn \. ts Q@ D QUrO+S

De même,

CHE “ ù L 0e dx DE Rx, JE D) es R(a, Y, 7) 12 0x ° Par ces relations, l'équation (9) se réduit à 5 rs dz = de = Q(a, 7, 2?) dy + R(a, y, x) dz.

Donc la détermination de © dépend de l'intégration d’une expression différentielle à deux variables. La condition d’intégrabilité est vérifiée en vertu des équations (7). Donc © se détermine par la méthode établie précédemment (n° 29). En désignant par b une nouvelle constante choisie à volonté, et en remplaçant dans (8) « par sa valeur, on voit que l’expression (6) admet une infinité d'intégrales, comprises dans la formule générale, comportant une constante arbitraire,

D = CAS AONTEEE \, Q (a, y, 2) dy + \R(a, Dade

a 3 Les conditions de continuité supposées dans la démonstration

précédente appellent évidemment une remarque analogue à celle

du n° 30.

Courbes rectifiables 32. Définition des fonctions à variation bornée. — Soit

3 = f(x) une fonction de #, univoque et bornée dans un intervalle

fini (4, b). Donnons à æ une suite de valeurs croissantes #, — 4,

D DE Di =1b#s0ttnt\}}, Jose Jnuwles valeurs corres-

pondantes de y. Faisons la somme des différences successives de y;

nous aurons

n (1) . (Jr 44e Yx) v Yan FAT an DE P RNCS

RE 22 à PR LE Er PR FES AE LU on A RATE Re AU

= rex RARE A

| 46 © CHAPITRE II. INTÉGRALES CURVILIGNÉS p désignant la somme des différences positives et — # celle des

différences négatives. Désignons encore par / la somme des diffé-

rences absolues

(2) t=2 RP nu D ce are

Les valeurs extrèmes & et b restant fixes, les trois sommes p, 2, 1 dépendent du nombre et de la position des valeurs intermédiaires. Faisons varier ces deux éléments de toutes les manières possibles ; si l’une des trois sommes est bornée, les deux autres le seront. aussi, en vertu des équations (1) et (2). Quand il en sera amsi, nous dirons que f(x) est une fonclion à variation bornée dans l’intervalle (a, b) (C. Jorpax).

Dans cette hypothèse, on peut choisir successivement les points intermédiaires de manière que p s'approche indéfiniment de sa borne supérieure P. Les équations (1) et (2) montrent que # et tendront, en même temps, vers leurs bornes supérieures N et T, et

ces équations elles-mêmes deviendront, à la limite, FC) — fa) = Yu —H=P = N, Ti PEN

Cette dernière quantité T s’appelle la variation totale de f(x) dans l’intervalle (a, b). Les deux quantités P et — N sont respectivement

les variations positive et négative de f(x) dans le même intervalle.

THÉORÈME. — S5 f(x) est à variation bornée dans lintervalle (a, b) et que l’on divise cet intervalle en deux autres par un point "El intermédiaire c, la variation totale T de f(x) dans (a, b) est la somme . des variations totales, T, et T,, de f(x) dans (a, c) et dans (c, b). N , On peut, par définition, former une somme / relative à lintervalle (a, b) et infiniment voisine de T ; et l’on peut supposer que c soit pris comme point de subdivision. En effet, si « tombait entre \ deux points de subdivision 4; et 4;:,,, on ajouterait le point de . subdivision c et la somme / augmenterait, car le terme | 34, — J; |

serait remplacé par une somme au moins égale

"à ju fOlR On

Or, quand c est un point de subdivision, / résulte de l'addition des deux sommes partielles analogues, /, et /,, relatives aux deux memalles (u,e) et (cb) On ati 1 = donc TD, Æ T, = fret, er lip A 0 AS 9

Réciproquement, toute somme /, + {, est une somme /, donc D Ain fi et sont bornes et f(X)est, à variation, bornée dans (a, c) et dans (c, b). Alors on peut faire tendre /, et /, vers Murbornes Dents etuilvient tadla himite, LR TE <C TT" De la comparaison des deux résultats, on conclut T, + T, =”

Le théorème précédent prouve que, si une fonction f(x) est à variation bornée dans un intervalle (4, b), elle est aussi à variation bornée dans toute partie de cet intervalle. Il s’ensuit que la variation totale / de f dans l'intervalle variable (4, x) est une fonction non décroissante de æ. Le même raisonnement prouve que les fonctions P et N relatives à l'intervalle variable (a, æ) sont aussi des

fonctions non décroissantes de x.

33. Propriétés des fonctions à variation bornée. — I. Une fonction à variation bornée, y = f(x), est la différence de deux fonclions bornées, positives et non décroissantes dans l'intervalle (a, b). Réciproquement, la différence de deux fonctions bornées et non décroissantes est une fonction à varialion bornée.

Soit y, la valeur de y au point 4; on a, les variations P et — N se rapportant à l’intervalle (a, x),

MCE) N.

Donc y est la différence de deux fonctions de x bornées et non: décroissantes. On peut faire en sorte que ces deux fonctions soient positives et même essentiellement croissantes ; il suffit, en effet,

d'ajouter aux deux termes de cette différence une même quantité

croissante et suffisamment grande, par exemple, la quantité | Ji EC — 4).

Réciproquement, si z et # sont deux fonctions de æ bornées et

non décroissantes, la fonction ? — u est à variation bornée. En effet,

la différence des valeurs de 7 — # pour deux valeurs x, et x,:, de x

48 CHAPITRÉ Il. INTÉGRALES CÜRVILIGNES

est au plus égale à la somme des accroissements de 7 et de # dans cet intervalle. Donc la somme de toutes ces différences entre deux valeurs extrêmes de x ne peut surpasser la somme des accroissements de 7 et de # entre les mêmes valeurs, et ? — # est à variation bornée.

IT. La somme, la différence et le produit de deux fonctions à variation bornée sont des fonctions de même nature. L’inverse 1 : y d'une fonction à variation bornée sera aussi de même nature, pourvu que

| y | reste supérieur à un nombre positif fixe.

La première partie se démontre immédiatement en considérant les deux fonctions y et y” comme les différences z — u et 2? — u”

de deux fonctions positives non décroissantes. On a, en effet,

PRIE RECIEE (Gp) EE VOLE un) Ga a7).

La dernière partie se vérifie aussi facilement, en observant que,

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