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reste toujours inférieure à un nombre fixe.
IT. Si la fonclion f(x) à variation bornée est, de plus, continue en un point (ou dans un intervalle), ses trois variations T(x), P(x), N(x) dans l’intervalle (a, x), sont des fonctions de x continues en ce point (ou dans cet intervalle}.
Supposons, pour fixer les idées, que f(x) soit continue à droite du point b. Si P(x) ou N(x) est discontinue à droite du même point, l’oscillation w, à droite du point b, de ces deux fonctions croissantes sera la même, puisque la différence des deux fonctions est continue. Définissons deux fonctions P,(x) et N,(æ) comme étant respectivement égales à P et à N pour. 4 <het,à P 6 Ne 6
pour æ > b. Ces deux nouvelles fonctions seront encore non décrois-
santes, nulles pour « = 4 et telles que l’on ait
Mais les variations totales de P, et N, dans (a, X) sont égales aux fonctions elles-mêmes P, et N,; d'autre part, la variation totale d’une différence ne peut évidemment surpasser la somme des varia-
tions totales de chaque terme; il vient donc, pour # > b, T{x) Z P,(x) + N,(x) = P(x) + N(x) — 20.
DER EN donc o—0"Alors, P N'etparsuité, T-sont continues à droite du point b.
Il résulte de ce théorème que foute fonction.continue à variation bornée est la différence de deux fonctions continues non décroissantes. Elle est donc aussi la différence de ‘deux fonctions continues essentiellement croissantes.
IV. Les fonctions à variation bornée sont susceptibles d'intégration. Toute la théorie de lintégrale définie qui a été exposée dans le premier volume leur est applicable, et, en particulier, la définition. Si f(x) est à variation bornée dans un intervalle (4, b) et que Pon divise cet intervalle en parties consécutives d’amplitudes 3;, où la fonction admet les bornes m; et M; (1 — 1, 2... n), l'intégrale de f(x) dx dans (4, b) est intermédiaire entre les deux sommes Xrè;, 2M5: étendues à tous les intervalles à;, et est leur limite commune quand ces intervalles tendent vers 0.
En effet, si l’on se reporte aux raisonnements du premier volume, on voit que le seul appel qui y soit fait à la continuité supposée de la fonction f (x) sert à prouver que la différence E(M; — m";) à; des deux sommes a pour limite zéro. Ce résultat découle aussi bien de hypothèse que f(x) soit à variation bornée.
Boitrenenet (x) sa variation totale dans l'intervalle (a, x); l’oscillation M; — m»”; dans à; ne surpasse pas la variation totale T(x;4,) — T(x;) dans le même intervalle, donc, si toutes les ampli-
tudes à; sont < à, on a
M — m) à < 22] TG) = T(w) | = 2| TE TO |
et cette quantité est aussi petite que l’on veut avec à.
Vol. IL. | 4
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S« ANT EE ï 3,4 1 a #] , 11 Vi, SOL TUE CHAPITRE Il. INTÉGRALES CURVILIGNES
