Courbes rectifiables. — Considérons une courbe plane

définie par les deux équations :

æ = (1), Sr Y(b), où + et 4 sont des fonctions continues de /, ne se réduisant pas

simultanément à des constantes.

Donnons à / une suite de valeurs 4,, ,,... 1,, 1,3, = T. Soient,

en général, æ;, y; les valeurs de x, y pour { = fi. Le périmètre p du

polygone inscrit ayant ces points pour sommets, sera 4 n DCE L'NR 2 ALT RS RER. LT ie À Au ER

[Les pe AN Le 2

A a TOM ES

Faisons tendre vers zéro les amplitudes de tous les intervalles (li, — 1). Si le périmètre du polygone ainsi construit tend vers une limite déterminée et unique, quel que soit le mode de subdivision de lintervalle (/,, T) en parties infiniment petites, l’arc correspondant de la courbe est recfifiable et la longueur de l’arc est égale à cette limite.

Pour que cette limite existe, il faut d’abord que le périmètre considéré ne croisse pas indéfiniment. Or le côté /; /;1, est au moins

— à; | et à | Yj54 — 7; |, mais ne peut surpasser la

égal somme de ces quantités. Pour que le périmètre reste fini, il est donc nécessaire et sufhisant que les deux sommes

ÎT

n : | dis, — x | et : RE 22

soient bornées et, par suite, que 4(/) et 4(/) soient des fonctions à variation bornée dans l'intervalle (4,, T). | Cette condition nécessaire pour que Parc soit rectifiable est aussi suMisante. En effet, supposons-la vérifiée et désignons par S Ja borne supérieure des périmètres de tous les polygones possibles. Nous allons montrer que le périmètre du polygone /, 1... 1,4, tend vers S quand l’amplitude de tous les intervalles tend vers zéro. Pour établir ce théorème, on observe que le périmètre p reste stationnaire ou augmente quand on intercale un nouveau sommet

entre {4 et 44, mais que cette augmentation, ne pouvant surpasser

x F UE SP TT ER TT ]

4 PÉPUENA TT 087 SH \' Ae ALERTER ns Le Pepe Le. t L Gé $ ‘ dpi, 2 ! : à

COURBES RECTIFIABLES Si

la somme des deux nouveaux côtés, est inférieure au double de la somme des oscillations de x et de y dans l'intervalle (4,, 4,:,). Ceci posé, commençons par inscrire un polygone auxiliaire +” dont le périmètre p soit < S — :, ce qui est possible par définition de S, et soit v le nombre des sommets. Soit + le polygone inscrit de périmètre p, dont les sommets soient de paramètres /,, 1, suflisamment voisins pour que la somme des oscillations de » et 4 soit < = : 2 dans chaque intervalle /, /,:,. Nous allons montrer que la différence L — p èst aussi petite que l’on veut avec <. À cet effet, formons un troisième polygone +” de périmètre p”, ayant tous les sommets de 7 et de +’. Comme +” se construit par l’addition de nouveaux sommets à 7, et que l'accroissement du périmètre est au plus de & : » par nouveau sommet, on a p” < p + <. D’autre part, r" provient aussi de l'addition de nouveaux sommets à +” de sorte

HD AS 2 e;Ona en définitive, p+e>p" >L—., d’où bp > L— 22.

Donc p qui est < S, en diffère aussi peu qu'on voudra à condition de rendre : (donc les intervalles {4 /,:,) suffisamment petits.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une courbe continue, dont les coordonnées sont des fonctions de 1, soit rectifiable, est que ces fonchions soient à variation bornée (C. JorDAN).

L’arc d’une courbe rectifiable possède les propriètés suivantes :

1° Si l’on partage un arc en plusieurs parties, la longueur totale est égale à la somme des longueurs de chaque partie.

On s’en assure par la considération des polygones inscrits dans chaque partie et dont l’ensemble est inscrit dans l'arc total.

2° La longueur s d'un arc, compitée d'un point fixe 1, à un point mobile t, est une fonclion continue et croissante de 1.

L’arc varie en croissant à cause de la propriété précédente et sa continuité résulte de celle de la variation totale d’une fonction continue. En effet, le raisonnement fait au début montre que la longueur de l’arc dans l'intervalle (4, { + AP) est inférieure à la somme des

#3 CHAPITRE Î. INTÉGRALES CURVILIGNÉS

variations totales de et y dans le même intervalle, donc elle est aussi petite qu'on veut avec A}.

3° Réciproquement, t est une fonction continue et croissante de s. Les coordonnées x et y, qui sont fonctions continues de t, peuvent donc loujours être considérées comme fonctions continues de 5.

Ces définitions et ces propriétés s'étendent d’elles-mêmes aux

courbes de l’espace.

Ç 3. Intégrales curvilignes qui ne dépendent que de leurs limites

35. Intégrales curvilignes. — Soient P et Q deux fonctions continues et univoques de æ et y dans une aire D à contour simple. L'intégrale curviligne,

\ P dx + Q dy, Fe

effectuée sur une ligne L tracée dans l'aire D, a été définie dans le premier volume moyennant certaines restrictions imposées à cette ligne. Nous allons faire disparaître ces restrictions et étendre la définition de l’intégrale à toute courbe rectifiable.

Considérons une représentation paramétrique de la ligne L. Soient z(1) et 4(1) deux fonctions continues de / ne se réduisant pas simultanément à des constantes, et supposons que le point TO) y = Ÿ(),

décrive ‘larligne Lquandm/ varie de HAN TENCEERIERERSS

supposée rectifiable. Soient S sa longueur totale, s sa longueur

variable entre les points /, et {. Pour définir l'intégrale curviligne,

divisons Parc L en segments consécutifs par les points /,, b,... lp...

tions æ, y, P(x, y), au point /4. Faisons tendre tous les segments,

ti+a = T. Désignons par 44, 1: PL. des valeurs, des onc>

c’est-à-dire tous les intervalles /, /,1,, vers zéro; les intégrales curvilignes sur L sont définies par les limites de sommes :

Him É Pi GTS AE \. Pat