INTÉGRALES QUI DÉPENDENT DES LIMITES SEULES

Mais il faut prouver l'existence de ces limites, et c’est ce que nous allons faire en les ramenant à des intégrales définies ordinaires. Il suffit de faire le raisonnement pour la première somme.

La courbe étant rectifiable, on peut mettre x sous la forme, u — v, de deux fonctions de / continues et essentiellement crois-

santes. On posera, par exemple, TEE NA MST,

auquel cas # et v croissent plus rapidement que s. Il vient ainsi,

u, et v, se rapportant au point +,

ñn n nl : PL (a+ a 2x) = ? PE (arr — 4) — ë PL Cort: Un)

Mais w et v sont fonctions continues et croissantes de /; alors, réciproquement, { est fonction continue et croissante de # ou de v à volonté. Il s’ensuit que x, y et, par conséquent, P sont aussi fonctions continues soit de # dans l’intervalle (#,, U) soit de v dans Pintervalle (v,, V).

Considérons le second membre de la dernière équation; prenons “ comme variable indépendante dans le premier terme, et v dans le

second ; il vient, par la définition même de lintégrale définie,