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lim È Pire Ti) = | P du 21 P dv.
A v 01 C’est le résultat annoncé.
En particulier, si x et y sont des fonctions de /, continues ainsi que leurs dérivées premières dans l’intervalle (4,, T), s, # et v jouissent de la même propriété. On peut prendre { comme variable d'intégration et l’on a
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36. Lemme. —- La lione d'intégration L étant tracée dans Paire D, on peut lui inscrire un polygone + tel que l'intégrale sur L diffère aussi peu que l’on veut de l'intégrale sur +. Il suffit pour cela que les côtés du polygone soient suffisamnient petits.
Il suffit évidemment de démontrer le théorème pour chacune des intégrales de P dx et de Q dy. Considérons seulement la première, la démonstration se faisant de la même manière pour lPautre.
Soient S la longueur de la ligne d’intégration, m, et M ses extrémités. Inscrivons un polygone avant pour sommets les points #,,
Mo, Mn et M. Soient x; et P;les valeurs de æ et de P au point w;;
c; le côté m1; m;+, et aussi la longueur de ce côté. Soit : un nombre positif arbitraire; on peut prendre tous les côtés c; assez petits pour
que l’oscillation de la fonction continue P soit < =: sur chaque côté
et pour que la différence entre X(x,,, — x;) P; et sa limite \ P dt l AIRE soit ausst <e/ Ceci ait, on a
ce qui peut s'écrire
\ PAU D (x: ; — %;)P; + 2 \ (P — P;) dx. YT
l L dE;
Cette relation prouve le théorème, car, si l’on porte son atten-
tion sur le second membre, la première somme diffère de moins
de de | P dx, tandis que la seconde, qui est moindre en valeur
absolue que < Éc; et à fortiori que &S, est aussi petite que l’on veut avec €.
37. Intégrales curvilignes qui ne dépendent que de leurs limites. — En général, l'intégrale curviligne effectuée sur une ligne L, tracée dans le plan xy et allant du point (x,, y,) au point (X, Y), dépend non seulement de ces deux points, mais aussi du tracé de la ligne. Si l'intégrale ne dépend que des extrémités de la ligne d'intégration et du sens du parcours, il est naturel de faire
apparaître cette propriété par une notation analogue à celle des
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