INTÉGRALES QUI DÉPENDENT DES LIMITES SEULES SS

intégrales ordinaires : l'intégrale effectuée de (x,, v,) à (X, Y) sur une ligne arbitraire se désigne alors par

PX,Y P dx. Æ+.Q dy

PETEUT et l’on dit que l'intégrale curuviligne ne dépend que de ses limites.

Les intégrales qui ne dépendent que de leurs limites ne sont autres que celles des différentielles totales exactes, ainsi qu’il résulte des propositions suivantes :

THÉORÈME. — Si Pdx + Q dy est la différentielle lotale d’une fonction F(x, y) supposée univoque dans l'aire D, l'intégrale de Pdx + Q dy ne dépend que de ses limites sur toute ligne de l'aire D et elle est égale à l'accroissement de F entre les extrémités de la ligne d’intéoration.

L'intégrale sur une ligne quelconque étant la limite de celle sur une ligne polygonale en vertu du lemme précédent, il suflit de prouver le théorème pour toute ligne polygonale.

Or, sur une ligne polygonale +, on peut considérer x et y comme des fonctions continues d’une variable / qui varie de /, àT, ces fonctions admettant des dérivées continues, sauf aux sommets du polygone où elles restent toujours bornées. On peut alors

prendre £ comme variable d’intéeration et il vient

D dLoehom\s (er, \. É \ ( dl mi \ dE

Par conséquent, x,, y, et X, Y étant les coordonnées des extrémités, 1l vient

le.

\ Par Æ Q dy = He Y) — HER Yi}:

TT

ce qui prouve le théorème.

THÉORÈME. —- Quand elle ne dépend que de ses limites dans l'aire D, l'intégrale de Pdx + Qdy, effectuée entre un point fixe X1, V4 et un point variable x, y, est une fonction univoque de x, y, ayant pour différentielle totale P dx + Q dy, ou pour dérivées parlielles P et Q.

ju

Désignons par *,, y, le point fixe, par X, Y le point variable. Soit alors De:

FORMES \ P dx + Q dy.

Cette fonction F est univoque par hypothèse ; il reste à montrer qu’elle a pour dérivées partielles P et Q.

Laissons Y fixe et donnons à X un accroissement infiniment petit AX — h. Calculons la nouvelle intégrale sur un polygone ayant pour dernier côté la droite menée du point (X, Y) à (X + h, Y). L’accroissement AF se réduit alors à l'intégrale sur ce dernier côté où y est constant et dy nul, c’est-à-dire à Pintégrale définie ordinaire

X+A NE \ NOTANONe

On en déduit, par le théorème de la moyenne, AF—P(X +0h) AX

et, par conséquent,

Fin Fe PIX Vi) delmeme PRES

En rapprochant les deux théorèmes précédents, on voit que l’on peut énoncer la conclusion suivante :

THÉORÈME. — Si P et Q sont des fonctions continues et univoques de x et de y dans l'aire D, la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale de Pdx + Q dy ne dépende que de ses limites dans l’intérieur de D, est que P dx a Q dy soit la différentielle totale d’une Jfonclion univoque dans cette aire. |

Nous allons maintenant chercher des conditions seulement suffsantes, mais que l’on puisse vérifier directement connaissant les fonctions P et Q.

38. Théorème. — Ja condition nécessaire et suffisante pour que l’intégrale de Pdx + Q dy ne dépende que de ses limites dans l'aire D, est qu'elle soit nulle sur tout contour fermé C tracé dans D.

Il suffit d’ailleurs pour cela qu’elle soit nulle sur tout contour