INTÉGRALES QUI DÉPENDENT DES LIMITES SEULES S

triangulaire, et même sur lout contour triangulaire supposé aussi petit qu'on le voudra.

Soient L et L, deux lignes ayant les mêmes extrémités, Li! la ligne L, parcourue en sens contraire. Le parcours LL! est fermé

et l’on a

Donc, si les intégrales sur L et sur L, sont égales, celle sur le contour fermé LL! est nulle, et réciproquement, ce qui prouve la première partie du théorème.

Je dis maintenant que pour que lintégrale soit nulle sur tout contour fermé, il suffit qu’elle le soit sur tout contour triangulaire. En effet, l'intégrale sur le contour fermé est la limite de celle sur un polygone fermé +. Pour que l'intégrale soit nulle sur 7, il suflit qu'elle le soit sur tout contour triangulaire suflisamment petit. En effet, si le contour polygonal x est simple (ne se coupe pas), on peut, par des lignes auxiliaires, décomposer l'aire intérieure à 7 en un réseau de triangles aussi petits qu’on le désire. Sommons les intéorales effectuées sur les contours de tous les triangles ; les intégrales sur les lignes auxiliaires se détruisent, car ces lignes sont parcourues deux fois en sens contraires. La somme se réduit donc à l'intégrale effectuée sur le contour polygonal extérieur, laquelle s’annule avec les intégrales sur les triangles.

Si le contour polygonal x se coupe, il est formé par la juxtaposition de plusieurs contours simples et l’on est ramené au cas

précédent.

39. Théorème. — Si P #t Q et leurs dérivées partielles P', et Q', sont des fonclions continues et univoques de x et y dans l'aire D, la condition nécessaire et suffisante pour que l’intégrale de P dx + Q dy ne dépende que de ses limites sur toute ligne tracée dans l’intérieur de l'aire D est que l’on ait l'identité P', — Q', dans l’intérieur de cette aire.

La condition est nécessaire en vertu du théorème du n° 29. Il

reste à prouver qu’elle est suffisante.

Sè CHAPITRE 11. INTÉGRALES CURVILIGNES

Cette conclusion se tire immédiatement de la formule de Green. I suffit, d’après le lemme précédent, de montrer que l'intégrale de Pdx + Q dy est nulle sur tout triangle C tracé dans l'aire D. Soit À l'aire intérieure au triangle. Il vient, par la formule de GER ONE étant nul,

\ PA QUE \| (Q”, — p#) dx dy = 0, JE A

ce qui prouve la proposition.

Nous allons indiquer maintenant un autre théorème analogue qui ne suppose pas la continuité des dérivées partielles. Il s’appuie

sur le lemme suivant :

40. Lemme. — Supposons P(x, y) et Q(x, y) différentiables dans un domaine D et sur le bord, celui-ci formé par hypothèse d’un contour unique C. Soit alors w un nombre positif donné. Je dis qu'on peut décomposer D en carrés (ou morceaux de carrés sur le bord), tous aussi petits qu'on veut {mais non pas supposés égaux), de telle façon qu'il existe dans chaque élément (carré ou morceau de carré) un point au moins (£, ) tel qu'on ait, pour chaque point (x, y) du même

élément, les deux relations simultanées :

À OP , | À P(r, 9) = PE mn) EURE D RS 0 mA)

QU, = 06 NF DER Ge où l’on suppose =] ER ES EMEA EE ASS

Pour le prouver par labsurde, supposons que, w étant donné, il soit impossible de satisfaire à ces conditions. Partageons D en un réseau de petits carrés (sauf la restriction déjà indiquée pour le bord) : il y aura au moins un de ces carrés où les conditions seront encore irréalisables. S'il y en avait plusieurs, fixons le choix de l’un d’eux par une loi. Subdivisons ce carré en d’autres plus petits et continuons ainsi de suite; nous prouvons par le raisonne-

ment connu qu’il existe au moins un point (5, n) de D, compris