INTÉGRALES QUI DÉPENDENT DES LIMITES SEULES

dans un carré aussi petit qu'on veut où les conditions sont irréalisables. Ceci est absurde, car P et Q étant difflérentiables au point (5, n), les conditions sont réalisées dans tout carré suffisamment

petit contenant ce point (sans qu’il soit même besoin de subdiviser

ce carré).

41. Théorème. — Si P et Q sont des fonctions continues, univoques el DIFFÉRENTIABLES de x et y dans l'aire D, la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale de P dx + Qdy ne dépende que de ses limites sur une ligne quelconque tracée à l’intérieur de l'aire D,

est que l’on ait l'identité P°, — Q”, à l’intérieur de cette aire.

Il suffit, comme au n° 39, de démontrer que cette condition est

suffisante, et cela pour un contour triangulaire. | Prouvons donc que, si l’on a dans un triangle T la relation P',= Q,, l'intégrale de P dx + Q dy est nulle sur le contour du triangle. Décomposons le triangle en carrés de manière à réaliser la condition du lemme précédent. Considérons l’un de ces éléments. S'il est intérieur au triangle, c’est un carré de côté x, de péri-

méttemaetndarenss Sullest sur le bord! c’est: une’ portion

ot ,

convexe d'un carré de côté «x, son aire est < «* et son péri-

mètre < 40.

Intéerons P dx sur le contour + de cet de En décomposant

Pdx par la formule : rs. précédent et en observant que l’inté-

grale de [PG, n) + E (EE | dx est nulle, car c’est celle d’une

différentielle exacte, il vient

OP É \ Payer \ ydx + eo dX, J? On Jy J7

fi

où l’on a, par le théorème de la moyenne,

| \ cpdx | < 4%,

lu

Cat | €

, ensuite | 9 | < 24 et x décrit au plus deux intervalles d'amplitude ©.

PRE NT Er LÉ EN A Sioa à 5e 0 ;* Lo :

LU

je M) :

He.

+ À % "A * De

On a, de même,

Ajoutons membre à membre ces deux équations. Au second membre, {à a dy et Î var ont, par hypothèse, le même coeflicient et leur somme est nulle, car c’est l'intégrale de la différentielle exacte d(æy). Il'vient donc (—— 1 < 6 < 1)

\ BE RO ds) = cod&.+ \ c'edy = 8ew2.

Sommons maintenant pour tous les éléments du triangle, 1l vient,

l’intégration se faisant sur le contour du triangle 7, \ Pdx + Qdy = 8eu2a’ (ro 1): s NT

Le second membre est aussi petit qu'on veut avec w, car la somme Yo° des aires de tous les carrés surpasse aussi peu qu'on veut celle du triangle T. Donc le premier membre ne peut différer de O, et l’intégrale est nulle sur le contour triangulaire.

42. Extension à un nombre quelconque de variables. — Les propositions des n* 36 et 38 s'étendent d’elles-mêmes à un nombre quelconque de variables indépendantes. Toute l’analyse précédente se généralise alors aisément. Pour plus de facilité, considérons seulement le cas de trois variables.

Soient P, Q, R trois fonctions continues et univoques de +, y, z, admettant les dérivées partielles premières RE PC OR Ne continues dans un domaine D. Ce domaime D peut être limité par une ou plusieurs surfaces, mais on le suppose tel, que tout contour fermé qu'on y trace puisse se réduire à un point unique par une déformation continue sans sortir de D. (Dans le cas de deux variables, c’est la simplicité du contour de Paire qui assurait cette condition).

a de ; arte 9 INTÉGRALES QUI DÉPENDÉNT DES LIMITES SEULÉS 61

On a alors le théorème suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que P dx + Qdy + Rdz soit la différentielle totale d'une fonction univoque F(x, y, x?) dans D, ou pour que l'intégrale curviligne

\Pux ROUTE RIZ ne dépende que de ses limites dans D, est que l’on ait, dans ce domaine, RE RUSSE VARIE QE GRR TRS NN NUS NES ENT dE Dans ce cas, F(x, y, x) sera exprimée, à une constante près, par

l'intégrale curviligne

CTU,s

\ Pdx + Qdy +R 47,

PTE effectuée sur un chemin arbitraire entre un point fixe et un point variable du domaine D. |

Le théorème précédent subsiste sans faire d’hypothèses sur la continuité des dérivées partielles, mais à condition d'admettre la différentiabilité des trois fonctions P, Q, KR.

Tout revient, en effet, pour justifier ces conclusions, à montrer que lintégrale de P dx + Qdy + Rdz est nulle sur un contour triangulaire aussi petit qu'on veut, donc tout entier dans le domaine D. Or on peut, dans le plan de ce triangle, considérer %, 3, x comme des fonctions linéaires de deux variables w, v, ce qui ramène l'expression P dx + Q dy + Rdz à la forme À du + Bdv, qui contient deux variables seulement et satisfait aux conditions des théorèmes précédents. On s’en assure en formant les expressions de À et de B.

-EXBRGICES

I. Quelle est la condition nécessaire et sufhisante pour que l'intégrale de surface,

() | À dy dz + B dzdx + C dx dy, s