CHAPITRE Ii

Intégrales Eulériennes

Ç r. Expressions des fonctions circulaires et hyperboliques en produits infinis et en séries de fractions

43. Décomposition de sin me en facteurs. — Nous considérons seulement le cas où #7 est un entier impair 2% + 1. L'expression de sin #1® se tie de la formule de Moivre :

cos ME + 1 sin me — (cos @ + 1 sin 6)",

en égalant les cofhcients de 2 dans les deux membres. Il vient ainsi,

pour toute Valeur réelle ou imaginaire de ©,

m(m—1)(m — 2) ja

sin me — m cos "Île sin 6 — "#9 sin° @ +.

Par conséquent, #1 étant égal à 2n + 1,

CON FrOosO er.

, — m COS" — sin Oo T2 éd 3

sin #1® HAUT EL) CNED) DANS

Tous les exposants sont pairs au second membre. Donc, si lon

remplace cos’e par 1 — sin’®, le second membre se transforme en

‘un polynôme de degré 7 en sin’e.

Posons, en abrégé, z = sin'@ et soit F,(7) ce polynôme de désret mon peutrécrire, envdésienantipar 4,2%... 4 les)\racines

SEAEOE

ÉHUCTA ERRE ro) RU Q re de £)(: ai te I ap (<= sin @)

les deux membres ayant la même limite 1 quand 6 et, par suite,

z tendent vers O.

Mais les racines à, &,.... de F,(7) s’obtiennent tout de suite. En

: I Te HT effet, sin #1® s’annule pour les valeurs ——, ——,... — de ©, toutes m° m ni

NOUS PE inférieures à 7 (car m — 2n + 1) et auxquelles correspondent les

valeurs croissantes (donc différentes) de z :

: NT (2) à, = sin ——, Uy = SIN —— … pi 1 mi m

qui sont donc les racines de F,(7), car sin® ne s’annule pas.

Portant les valeurs (21 dans (1), on aura la formule de décompo-

sition cherchée.