DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS CIRCULAIRES EN PRODUITS 6S
m—I se k= Quand # varie de 1 à 7 — RAR le rapport (sin 2) : — est
m m 5 à > —, car c'est celui du sinus à l'arc, qui décroît constamment sans de atteindre le minimum (sin ° À — On a donc % I m° m° I I HE Sn Cr en 2 4h RE NT
Que ace TC M He) se ;
et, par conséquent, a fortiori
R, <T{(sh: he D Lie — A] ue D AN : k
m /pilhk — 1 AP mi Faisons maintenant tendre #7 vers linfini dans la formule (3), et observons que lon a
sv Lui lim m1 sh— — x, him m° 04, = lim 7#° sin° = hs m m
il vient, quelque grand que soit p,
DÉSTAR REED
Si l’on fait tendre maintenant p vers Pinfini, lim KR, tend vers O
et l’on trouve
Enfin, en repassant des logarithmes aux nombres, on obtient shx sous forme de produit infini, c’est-à-dire comme limite du produit
d’un nombre illimité de facteurs :
PL RRaR D x?
(5) hs CRE À. TE UCT + a)
La décomposition de sin æ peut s’obtenir directement, par un
raisonnement analogue. Mais on peut la déduire de la formule
LA
Male L
TER (is: IN nr.
Le ds ENT ! HS OT TA A mie Vel : Er NE d'a >” AARTEE: ù- + je L'AMLI, EM 0e PP RE SO PE NT TOR cr tee Li t | dl ÿ be 1
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précédente. Il sufht de remarquer que la formule (5) subsiste si l’on remplace x par une variable imaginaire z.
En effet, le produit qui constitue le second membre de (5) se développe, par les multiplications successives, en une somme de puissances de æ toutes positives. Donc, l’ordre des termes étant indifférent, ce second membre peut être ordonné suivant les puissances de æ, ce qui le ramènera nécessairement à la série potentielle qui définit sh. |
Cette réduction à la série qui définit le sinus hyperbolique demeure légitime quand on remplace 4 par une imaginaire 7 de module æ, car la somme de puissances de % sera seulement remplacée par une somme absolument convergente de puissances de z et l’ordre des termes demeure indifiérent.
Donc on peut remplacer # par 1% dans et l’on en déduit P (
Fe £ D TS (6) bee æH(s tee
SUD ANUS A © ) cos © = —= [Nr — 2 sin æ k (2h + 1) +?
45. Séries de fractions. — Si l’on dérive la formule (4), vient, pour toute valeur réelle de x, ERA RE TT à I ei I (7) a se I 202 Ra TA EE 4 pi AT? + x
En effet, cette série, ayant tous ses termes inférieurs à ceux de la série convergente à termes positifs È #—?, est uniformément convergente quand æ varie d’une manière quelconque, ce qui justifie la dérivation. |
De même, remplacons, dans (6), sin æ et tous les facteurs par leur valeur absolue ; prénons les logarithmes des deux membres, et
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