Calcul d’une intégrale d’Euler. — Soit x une quantité

comprise entre Ü et 1;ona

LEZ et 0 est compris entre Ü et 1, car 6 est égal à 1 : (1 + &).

68 CHAPITRE If. INTÉGRALES EULÉRIENNES

Donc, si 4 désigne une quantité positive, il vient, en multipliant la relation précédente par 47" dx et intégrant, puis en observant que 9 peut sortir du signe d'intégration tout en gardant le sens d’une

quantité comprise entre Ü et 1,

\ xt T dx MSG 1 )* ï Ce On OU ATEN AE SE

Enfin, en faisant tendre a vers l'infini, on obtient

Supposons maintenant 4 compris entre O et 1; on peut changer

ä en 1 — 4 dans cette intégrale, puis Æ en 1 : X; il vient pi VV % Le — | e k \ ARR \ DDASS Er 20) 6 PEN EE mt DL EE | d—Rh

Ajoutons cette relation à la précédente, nous trouvons, par (10),

(2) NN CDS

re RS |

CR LOEUS tr mi sinur Cette intégrale importante est due à Euler, qui l’a calculée par un procédé très différent du précédent.

Ç 2. Nombres de Bernoulli 7” 47. Développement Cher anes ne série potentielle. — Soit

æ une quantité positive; on a di & 5 RS)

Re AE OR MORTE Li Pas Cr — — sS ne x) LEE (— x)"

Donc, en changeant æ en x* : 4k°r*, et en supposant seule-

ment x réel,

à (ee nn 2e) ART 0 ENS RON ) na)