NOMBRES DE BERNOULLI

Portons ces développements dans le second membre de la for-

mule (11) du n° précédent ; en posant, en abrégé,

I I De ARNO AMOR OA TE) 4g HE ia VE à ol di 76e ri (1) ne IL UT A2 ca EE 02) Ce ART 2 RON NAT NC RL Te

Si 7 tend vers linfini, s,, tend vers l’unité et le dernier terme tendivers Ü, pourvu que | x | soit < 2x. Donc, si | &Æ | est < 27,

on a le développement en série potentielle convergente

nee FRE BE Sa : FE | AT TAN Et (27): (7) ne

48. Nombres de Bernoulli. — Les nombres de Bernoulli (* sont les nombres B,, B:,... B,,..., définis par le développement en série | L 1 er Bar

Te NAME rt SO ee IPS (2) Free Le + Se = “ +

qui converge, comme on vient de le voir, pourvu que < 27.

A ÈSOIt Comparant cette formule à la précédente, on en conclut que tous les nombres B d’indice impair sont nuls, sauf B, qui est égal à , ét que les nombres d’indice pair, B:, B,,... sont alternative-

ment positifs et négatifs. On a effectivement

Fra (211)) RU Eee JE Er ANS 1 (3) B a ( 1 )" (ri Son:

Quand # est grand, s,, diffère peu de 1; cette formule montre que les nombres de Bernoulli croissent très rapidement quand

n'augmente.

(*) La notation des nombres de Bernoulli est variable avec les auteurs. Nous avons adopté celle d’Edouard Lucas qui est la plus commode,

A DE PER Ne CO PR ON Ne

70 CHAPITRE I. INTÉGRALES EULÉRIENNES |

Si l’on introduit la notation des nombres de Bernoulli dans la formule (1), il vient, x étant réel et à compris entre 0 et 1, x ,Bt* B,x” PEROU rN da Boite

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49. Calcul des nombres de Bernoulli. — Nos allons montrer que les nombres de Bernoulli sont rationnels. Pour les calculer, il est commode de se servir de la notation symbolique suivante :

Convenons de remplacer B'" par B, dans le développement de ei”

en série potentielle; la formule (2) pourra s’écrire symboliquement

46 he (5) ———— = PT,

L’utilité de cette notation vient de la propriété suivante:: Si lon multiplie la série e#* par celle qui représente e2*, on aura

aussi symboliquement eux eBE — p(a+B)® É

En effet, si l’on considère B comme une indéterminée, légalité précédente a lieu par la propriété de l’exponentielle. Les deux membres peuvent être ordonnés suivant les puissances de B; après quoi, les coefhcients des mêmes puissances de B doivent être identiques de part et d’autre. L'identité des deux membres subsiste donc quand on remplace B, B°,... par B,, B,,... Cette substitution donne aux deux membres leur sens symbolique. D'ailleurs les séries convergent pourvu que « soit < 27 en valeur absolue.

Chassons le dénominateur dans l'équation (5); il vient (6) DE EAN pe URES

Par suite, en égalant les coefhcients des mêmes puissances de #,

on obtient les équations symboliques : |

(B+1) —B =: | D (B + 1} — B'—0 2B, +1 —=0 (DEA BR NU NIBNEE DAMON SR RE PR n

(B + 1) — Br — 0 (NE ne 45 LA ES EN EE

nt) $ ’ x | .