NOMBRES DE BERNOULLI

C’est un système des formules récurrentes à coefficients entiers, d’où l’on tire de proche en proche les valeurs de B,, B,, B,,

On trouve (B,,:, étant nul) les valeurs rationnelles :

I 691 SE NEIL NEA Se As [l 2 6 42 B,» 2730

EVE NOMME AUGUE | PE ER MES ARSO ET 4 DA LES 30 Die 66 Die s10

50. Propriétés des nombres de Bernoulli. — Multiplions la formule (6) par e/*; il vient

deze — e(B+I+yx ,(B+y)

d’où, en égalant les coefficients de x”! de part et d’autre, (8) 1e A ee 2 0 Pr

Désignons par / (1) un polynome entier quelconque ; on aura

(9j LÉGER T1) —ÿ(y + B) = jf (y).

C’est l'identité symbolique fondamentale à laquelle satistont les nombres de Bernoulli. Elle résulte de la formule (8), qui exprime que (9) est exacte pour chacun des termes du polynome.

Voici quelques cas particuliers :

SOA) MENT) On A Dour M == 0

Pot QUE ET) CRE 2) RNB) ont pour y ='0,

b+B+n(B+2).(B+p=pl

HSONTESU.E D: DOsOns Ep) =) l'un 1)” ÿ4 on a, pour = 0, |

Cette dernière formule, qui est due à Stern, est peut-être la plus

commode pour le calcul des nombres de Bernoulli, parce qu’elle ne

contient pas tous les nombres B, mais seulement ceux qui sont compris entre B, et B,+,.