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CA MU TEET 5 #4 S

51. Définitions et premières propriétés. — Legendre a donné le nom d’intégrales eulériennes de première et de deuxième espèce aux expressions :

“1 . (1) B(a, b) Sa LU TA EE OO DEL UE) EA AINSI v0 v0 La première est la fonction Béta, la seconde la fonction Gamma. Ces intégrales sont absolument convergentes pourvu que & et b soient > 0 (n° 4 et:9) Elles cessentid'exister sg 01 ANSE (b n’intervenant que pour B). Il sera donc entendu, dans ce chapitre, que a et b sont réels et positifs.

Assignons aux variables 4 et b un minimum positif :; tous les éléments de l’intégrale B sont alors maxima et positifs si 4 = b = 2, ce qui laisse subsister la convergence. Donc B converge uniformément (n° 22) et est fonction continue de à et de b (n° 23). Supposons maintenant que 4 varie dans un intervalle positif (, A). Faisons la décomposition

LIVE dx \ APM Jt

pi Pia \

convergentes :

Î 3 GO \ LED Xe lue 0] I

Donc l'est une fonction continue de 4.

Voici maintenant quelques propriétés qui résultent immédiatement des définitions :

1° Si, dans l'expression (1) de B, on change la variable x en

1 — X, cela revient à permuter & et b. Par conséquent,

(2) BAPE (A0)

2 10 td OpR ER SE à DES LH

INTÉGRALES EULÉRIENNES 73

2° Si a ou best entier, on obtient B (a, b) sous forme explicite. EntéTétRsSeDIERUer on ai dabord SPL ENT a”

ENT ess \ MAR UNE

Ensuite, si est un entier 7 > 1, on trouve, en intégrant par

parties,

B (a,.n) =? ‘| RCD ee An de OT Ba 1m Tr) ; ü |

et ainsi, de proche en proche,

ve POS SU NL) (3) RAD es PNG NON ENCRES

3° On a la relation, d’un usage fréquent,

(4) D(a + 1) — al (a),

qui se démontre par l’intégration par parties effectuée ci-dessous : fe GO aie)

Pa + 1) — \ NET IX | xt AA nou \ mn TA

le terme aux limites étant nul.

Si # est entier, on a, en appliquant (4) de proche en proche, (5) La + n) = a(a + 1)... (a + n — 1) (a).

Cette formule permet de réduire à (0,1) l'intervalle dans lequel il est nécessaire de calculer l'(4a).

4° On voit immédiatement, par la formule (x), que l'(a) = 1. Donc, si 2 est entier, on obtient, par la formule (5), L'(n + 1) sous forme explicite :

Vin + 1) = n!

On remarquera, en particulier, que F(2) = 1.

s’ Multiplions par ['(a) les deux termes de la fraction qui forme le second membre de (3); il viendra, par (5) et puisque (4 — 1)! A À (n),

(6) B(a, n) — ES

Cette formule n’est encore établie que si 7 est entier, mais on va montrer dans le n° suivant qu’elle est générale.

6 Soit y un nombre positif; si lon change la variable d’intégration X en JX dans l’expression (4) de 1’, on obtient la formule importante

- xU Te VT GX.

(a) us \ #