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Faisons tendre n vers linfini; on peut faire, dans la somme du
Pi
à I Le premier membre, . Le HXIET «3 — dx, eh davhimiterdercettét somme
est une intégrale définie ; il vient
Ce résultat permet de calculer facilement l'intégrale de Raabe,
qui est la suivante :
?] ra+l == \ Log (a + x) dx | posé)
Jo
En effet, les dérivées de l'(a + x) sout les mêmes par rapport Met Aadidonc
car {a + 1) = aT (a), en vertu de (4). Par conséquent;
le \Log a da —=;a.{(Log 4 1) + Ci: NS
LA
La constante C se détermine pour 4 = 0; il vient, comme on la prouvé, au débutidu'n° actuel, C4 =Tos 1/27 End tive, l'intégrale de Raabe s’évalue par la formule 11700
(4) ME \ Log la + x)'4x = a(Log à — 1) + Log J/27.
; \ Cette intégrale joue un rôle important dans la théorie de la fonc-
tion l'; on verra plus loin qu’elle est la valeur asymptotique de
Log (a =. 2).
S 4 Expressions des eulériennes en produits infinis
57. Formule de Cauchy donnant D Log l'(a). — En dérivant sous le signe lintéerale qui définit [', il vient
Gs) l'a)
GO
+ \ Les PROS ol
Da Men —\ o 0
Cette dérivation est légitime, car chacune des deux intégrales de
O à r et de 1 à ci-dessus converge uniformément quand 4 varie dans un intervalle positif quelconque (:, A) : elles ont, en eflet, respectivement leur élément moindre que celui des intégrales
LA
correspondantes à éléments positifs et bien déterminées :
»] ds DEA \ xe=1 (— Log x) 4x, \ De Tate 0 l Car 6 est EUTIEt DONNE ENT) IDE 4261 PUS AN Nous allons transformer la formule (15). Soit y un paramètre positif; considérons la relation
25 Ye y UT one \ xa—i era on dx — D ml ar | xa— 1 eye Üx, «& 0 ” F7. 0 à à (e)
