DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS INFINIS

qui peut aussi s’écrire, en égard à (x) et (7),

à RU — 67 TU F (a 2e I PME ' a tas - À & NAME Le AR IE ETF \, 4 È : Y + G+) He y}

Multiplions par dy et intégrons de O à . On peut intervertir les

signes d'intégration dans le premier membre (n° 17), car la fonc- Pi

tion à intégrer est toujours négative sous Île signe \ GE tt

4] positive sous le signe \ et, en se rappelant qu'on a (n° 25) | Ji

RO CN pag da \ de dy — Log hu 0 2

on voit que les intégrales intérieures sont respectivement fonctions

continues de x ou de y, sauf si X ou y est nul. Il vient ainsi

(1 di me | I dy men AO TE CES (0 \ BE a | +| NO PHON EEE

58. Formule de Gauss. Constante d’Euler. — En faisant a — 1 dans la formule de Cauchy, on obtient la relation suivante,

qui définit la constante d’Euler C :

RAÉT PRES en I dy D TE TN o=\ |: aire

Soustrayons cette équation de (16); il vient

[’(a) NE RS MCN I dy Lo TETE TE

et, en posant 1 + y = I : X, on trouve la formule de Gauss :

ne Luc

80 CHAPITRE ill. INTÉGRALES EULÉRIENNES

Si «4 est rationnel, on peut effectuer l'intégration; en particulier, SIN ESTNENUER TON {

LOIRE \ (1 A Dh a) AA TR PEACE v »)

C’est de cette formule qu’on se sert pour calculer C, en utilisant les formules d’approximation de L’(x) : l'(n) que nous indiquerons

plus loin. La valeur de C est

GUN CoOU OUT 60 En

59. Produit de Gauss. —— C’est une généralisation de la formule d’Euler (n° 55). Changeons, dans la formule (18), 4 en a

où et n sont entiers, ensuite la variable X et x”; il vient

: Je ’ y Hs.

r (« + n A1 res Aire ; fall xl Pare xha-i+k TU CNCTTONE 1e1à = dx =NN\ dx 7 : PAS 0 LEEX 0 Hat V'{a+ D ñ

Faisons } — 0, 1, 2,... (n — 1) et ajoutons; il vient

Y/ Ÿ Fe I (a + 4 JL qu } nx—! 2 LE xna— IS jh 2 FN + nC = n\ IX ee k=0 r'( 2) Jo LEA L »1 rent na 1" nx t XNA = NUE a | axC —X" : DE X

Soustraions de cette équation 7 fois la suivante, tirée de (18) :

1e -NA—A AURA a (fee et Tia) À I—X I—X il vient 3 td Rat (a cp m F'(na) w AUX TEE I DS NT —n = n Are — —— I — X" LT