Expression Log l'(a) par une intégrale définie
Rappelons la formule de Cauchy (16), que nous écrirons comme
suit :
(a) \ " Le Rue «| dy EE marre PT. y) Hpymre A ji GS A ï
Le second membre est ainsi décomposé en deux intégrales, dont
la seconde, qui est à limite infinie, est seule généralisée. Mais cette
84 CHAPITRE lil. INTÉGRALES ÉULÉRIENNÉS
intégrale converge uniformément pourvu que 4 reste supérieur à un nombre positif <, car elle est la différence de deux autres :
\ dy At «y é ie # Ji ; à (1 + y)" A
dont la première est indépendante de 4 et la seconde uniformément
convergente (son élément décroissant quand 4 augmente). Multiplions donc léquation de Cauchy par da et intégrons de
1àad(a > 0); on peut intéorer sous le signe (la convergence étant
uniforme) et l’on trouve l'intégrale uniformément convergente (n° 23)
ee Ces enr 00 | (a RUE 1 )e U — Log (x se 7) ele
LOS LUUYE \
Si ==Ntbn A EN particulier
ee \. Ée 2 7 | dy.
Multiplions par (4 — 1) et soustrayons de l’équation précédente ;
il vient la Je e)
eTta À er re) GENE Log (a) \ PE y he +)
Et En posant LOBC(T PAT PO TON ER CREERTe
6 14 ax | PH rome AA Fc ie SRE 0 | er OT NS À
Enfin en changeant encore X en — x, nous obtenons lintégrale cherchée mo ei æœ dx — € (24) Log l'a) =| = See Se (d Er Pug rx | — Fa
et les changements de variables n’ont pas altéré le caractère de convergence uniforme pour 4 > &
Remarque. — En multipliant l’expression précédente par da et en intégrant de 4 à 4 + 1 sous le signe (ce qui est permis, la conver: gence étant uniforme) on obtient une expression utile de l'intégrale
de Raabe :
Ro TAUer e” 1 GS) 1=| EE (ai) | es 60 UE et —]I 5)
On a d’ailleurs, comme on le sait (n° ss), sous forme finie,
ra+i Chic Ice \ Log F(a)da = a(Log a —- 1) + Log|/2x.
64. Fonction de Binet. —- Soustrayons la formule (25) de (24)
et ajoutons membre à membre avec
la lee) à a] ki 3 à A ne 25 CRU =) EE — 6 x Jo RSR ÿ, M4
tous les termes qui ne contiennent pas le facteur e“” se détruisent sous le signe / et il vient
os
Log (a) — |] IE AL MHEAEE (Xe (26) ne
NET Los x \eT
L'intégrale qui figure au second membre de cette formule est une fonction de 4; on l'appelle fonction de Binet et on la désigne par O(4). On à donc
(27) EAU Le n RC
En remplaçant dans la formule (26) l'intégrale I par sa valeur
rappelée à la fin du n° précédent, on obtient la formule — T” (28) Log [(a) = Log V/27 +(à — =) Log a — a + Q(a).
Quand & tend vers linfini, Q(a) tend vers O0, de sorte qu'en négligeant Q(4) dans la formule précédente, on obtient la valeur asymptotique de Log l(4). Mais nous allons examiner, dans le n°
suivant, les formules d’approximation de Q(a).
65. Série et formule de Stirling. — Dans l'intégrale (27), remplaçons f(x) par le développement trouvé au n° 48 (form. 4)
