CHAPITRE PREMIER

Intégrales généralisées et fonctions d'un parametre

V —. Intégrales généralisées

1. Intégrales proprement dites, intégrales généralisées. — La définition primitive des intégrales simples ou multiples suppose la fonction et le domaine d'intégration limités. Si la fonction ou le domaine d'intégration devient infini, il faut un passage à la limite de plus pour définir lintégrale. Nous donnerons aux intégrales qui comportent ce nouveau passage à la limite le nom d'intéorales généralisées, par opposition aux précédentes que nous appellerons des intégrales proprement dites. Les principes de ces nouvelles définitions ont déjà été brièvement indiqués dans le premier volume (n° 184). |

Nous commencerons par exposer un théorème qui est souvent

utile dans les recherches relatives à ces intégrales.

2. Deuxième théorème de la moyenne. — I. Soient f(x) et o(x) deux fonctions bornées et intégrables dans l'intervalle (a, b). St, pour x > a et < b, + (x) est : 1° positive, 2° non décroissante, OR on a

(1) MOTO Die D \. f(x) dx (ST

Décomposons l'intervalle (4, b) en éléments infiniment petits par les points x, = 4, X9, X3,... Xn+1 — b. Désignons, en général, par à, Pamplitude et par &; un point intermédiaire de l'élément (x;, x::,). Le premier membre de (r) est la limite de la somme

ñn ds +1 Date \ f(x) dx, L= | 1e