CA LA

Vol zil Î

car la différence de ces deux expressions, à savoir

| n a à 2e | 4 ë À dr cu Le) +6) C) de, 2

tend vers zéro. En effet, soient A; to de dans Pintérieu de 3; et y. la plus grande des intégrales de | 1 | dans les divers inter

valles à;, cette différence est moindre en valeur absolue que

= “à | flax < HO A OR

les à). Donc, en écrivant Fe même somme autrement, le premier

membre de (1) est aussi la limite de

ë PE) ee rs: @], a fax | À k ton | PEZ | Zi : F0

b n Die 3 7 — (4) \ fax : LG) rs GI Jax.

On ne change pas non plus cette limite par l'addition d’un terme qui tend vers Ü, de sorte que le premier membre de (HE est CeGs

la limite de l'expression

b n b | | | ve 5 | fa + Éfe) 88 | fx + 18 cf ax

Les coefficients des trois intégrales de J ax qui sont écrites dans

cette expression sont respectivement positifs en vertu des troi

hypothèses du théorème. Donc, en désignant par y. une moyenn

entre ces intégrales ou, ce qui revient au même, centre les valeurs ; | | de\ Hi dx dans l intervalle (a, b) de % l'expression précédente est F.

de la forme

à LED + : 16) — D + + B EL

Ve.

M À à 4 à i ñ WE A Nr a FM \S as nr AAA TE MONS Fe Etat LS LS 4 pu ne Pr NE Ca NES 7 pre RER

Pari Re ARS A, À 7 à à Fe DR ROT PS Psy À res DE CONVERGENCE | 00

+#rr

intermédiaire . pour une valeur au moins Li ne JE b), ce qui établit l'équation (our

2 Il. Plus généralement, quel que soit le signe de :(x), si, pour x > a Fe DRE CeLIe fonction est :1° S À et < B, 2° non décroissante, on a

de x dans l'intervalle

| é Fa $ si © à LG) dx = a (re +B 0 Jo @<i<n LE de était non croissante, la formule subsisterait sauf qu’il D faudra y permuler À et B.

MEn'eftet, si 20) croît, On a, par le théorème Gex étant positif),

mb : b

ne À|c—nraæ CN fax, a f Ë

# ce qui revient à la formule (2). Si, au contraire, + décroit, on changera dans la formule (2) le signe de +, donc ceux de A et de B, ce qui revient à changer les signes des deux membres et, comme 2 + croît, on sera ramené au cas précédent.

La proposition II donne lieu à deux formules particulières, souvent employées :

BOUT On a, en particulier, sous les conditions de la proposition XI,

Se 4

OR POTC ET ONTESTEONE

15 eflet, on peut faire, dans la formule (2), À = :(a + 0) et

B— = 4 — 103 en désignant pe R ne Ross 1£ £ quand x tend”

tantes car, dans les deux cas, la variation de ne change pas de sens.

ANA Si la variation de (x) ne change pas de sens dans l'intervalle # a, b), on a | |

À 4029 FC) ds = (a) WE + +) | fax

à En eflet 4(x) reste alors compris entre +(4) = A et 2(b) = B.

3. Définition des intégrales à limites infinies. — Soit /(x) une fonction bornée et intégrable au sens élémentaire, c’est-à-dire n'ayant que des points de discontinuité isolés dans l'intervalle (a, x'}

quelque grand que soit X'; on pose, par définition,

\ JOaRE us | JC dx.

Si cette limite est finie et déterminée, lintégrale existe ou est convergente. Dans le cas contraire, lPintégrale #’existe pas ou est divergente. Ceci peut avoir lieu de plusieurs manières. Si la limite est infinie, positive ou négative, l'intégrale est infinie positive ou négative. S'il n'y a pas de Énite Pintégrale est indéterminée, mais elle n’est pas nécessairement dépourvue de toute signification, car Pindétermination peut être incomplète. Ainsi les plus grande et plus petite limites du second membre de léquation sont les limites d’indétermination de l'intéorale.

Si lon sait effectuer l'intégration indéfinie de f(x), la corinaissance d’une fonction primitive F(x) permet de reconnaitre immédiatement si Pintégrale existe et d’en calculer la valeur. Il faut, pour a l'intégrale existe, que F(x) ait une limite finie F() pour x = > et l’intégrale aura pour valeur F(=) — F(a).

Mais, en général, on ne connaît pas de fonction primitive et il faut un examen plus minutieux.

D’après les principes de la théorie des limites, la condition nécessaire et suflisaute pour que l'intégrale à limite infinie converge, est que la différence des deux intégrales prises dans les intervalles (a, x') et (a, x") soit infiniment petite, X”° et X” étant des infiniment grands indépendants. Cette différence sé réduit à l’intégrale, prise

entre deux limites qui augmentent indéfiniment, a" |. 6 à, œ! 1

que l’on appelle une intégrale singulière. Donc, pour que l'intégrale à limite infinie existe, il est nécessaire et suffisant que l’intégrale singu-

lière correspondante ait pour limite O.

| | RÈGLES DE CONVERGENCE mm S

LS | | SE à La condition se simplifie quand f(x) ne change pas de signe, car, Cr dans ce cas, l'intégrale entre d et X° varie toujours dans le même sens quand x’ augmente, L'intégrale entre 4 et l'infini sera donc | nécessairement convergente ou infinie.

Une intégrale est absolument convergente quand elle converge après qw on y a remplacé f(x) par sa valeur absolue; et alors elle est con-

Ua 4 \: | vergente, car la valeur absolue de l'intégrale singulière ne diminue We 4

certainement pas quand on rend tous ses éléments positifs, et si elle | tend vers O après ce changement, elle tendait déjà vers O avant.

On considère aussi des intégrales dont la limite inférieure est infinie. En supposant f(x) toujours finie ou intégrable dans l'intervalle Le 0), elles se définissent par la formule analogue à la précédente

À | Fr) Re 1 m | f(x) dx. | | —D Te Elles donnent lieu aux mêmes considérations que les intégrales précédentes et s’y ramènent d’ailleurs en changeant x en — x. Enfin, si les deux limites sont infinies, on pose (le choix de 4 étant

évidemment indifférent)

( al

| raz | +| ca

ce qui ramène aux deux cas précédents.

# 4. Règles de convergence absolue. (Limites infinies). —

As ÊT FA

Nous nous bornerons à la seule intégrale \ f(x) dx, car les règles D. & | relatives aux autres s’obtiennent par analogie. Nous remarquerons d’abord que cette intégrale sera convergente ou non, absolument

Res. convergente ou non, en même temps que | f(x) dx où p est un , # : ke

CR nombre aussi grand qu’on veut, car elle n’en diffère que par une FAR intégrale proprement dite. C’est pourquoi, la limite inférieure de D brie étant indiflérente dans les règles suivantes (sous la seule

condition que /(x)soit intégrable), nous nous dispenserons de l'écrire.

ide LÉ , à C Pa eo d ;