Relation entre Q{a) et Q,(4). — Cette formule se tire de
la formule de Legendre (n° $4) :
(a) (x - =) —— d’où | x
Log ['(«) + Log ra aie =) — Los /r (2 27)Los2 LEONE)
Tr Lei 124)
Remplaçons Log (a) et Log F(24) par leurs valeurs tirées de la
formule (28), puis Log (0 + =) par sa. valeur tirée de (36).II
restera, après la suppression des termes qui se détruisent,
(”) Serret. Cours de calcul différentiel et intégral, t. IL, 1877, p. 228.
70. Intégrales de Schaar. -— Les fonctions Q(a) et Q,(a) peuvent s’exprimer par des intégrales de différentielles rationnelles bar rapport à a. Ces formules très remarquables sont dues à Schaar et nous allons les faire connaitre.
Considérons d’abord Q{a). La fonction /(x) de la formule (26) a
été développée en série de fractions (n° 45); on a trouvé
Les termes et la somme de cette série sont des fonctions continues et positives. Si l’on porte ce développement de f(x) dans sis (27)/de Q(4), on peutintervertir les signes jet (tr,
12526) On trouve ainsi
(87) 102 DÉCRAURSE S \| 2677 dx l Le
LA
2RTX Changeons dans chaque intégrale x en FLE intervertissons de (
nouveau les signes Ÿ et /, ce qui est permis, les termes de la
nouvelle série étant encore des fonctions continues et positives,
il vient SAUCE UN SORT er x nr OR AE O8 CI ef rx), CROSS ne
C’est la première formule de Schaar.
La seconde intégrale de Schaar s'obtient par la relation (36); il
vient Fa rank Do NE Q a 4 ——— [ [ei — pÊTX nn RC . GÉT = DTrx 1(e) Re CRT DAS JE . 4 + Pos Greta)
On change X en 2x dans cette dernière intégrale; il vient ie a 2TX 70 :
I d AX I— 6x I CATA Q a ÊxS | Los PSS Pr TU 25 0 ho: Loos ( I + eeTx (39) i( ) Fr a Lx? OT. PATES re g{I )
ce qui est la seconde intéorale de Schaar.
71. Développement de Q (4) suivant les puissances négatives de a. Formules asymptotiques de Gauss. — Si, dans les
intégrales de Schaar, on substitue le développement (0 < 0 < 1)
a I a MANS RE NC rl ANNE Me ( Fe —..(—=) + 6 S)al d + x" a d” d BRU a
et si l’on intègre termé à terme, en remarquant que 4 peut sortir du
sione / en vertu du théorème de la moyenne, on obtiendra les.
développements de Q{a) et de Q,(a) suivant les puissances négatives de 4 avec l'expression du reste. On voit, sans qu'il soit nécessaire de lécrire, que ce reste est de même signe et moindre en valeur absolue que le premier terme négligé.
Les coefhcients de ces développements sont exprimés ainsi par des intégrales, mais il est inutile de considérer ces intégrales, car les coefficients du développement de Q{a) ont déjà été calculés (30) :
| B. te
Or do ea Fe
et ceux du développement de Q,(a) s’en déduisent par la ges (36),
O,(@)= = ne De ques nn Ute he Le
Cette série est den mais elle est pseudo-convergente comme celle de Stirling : elle convient de la même manière au calcul approché, l'erreur commise étant égale à une fraction du premier terme négligé. Aïnsi, en particulier, en prenant une fraction du
premier terme, on a
of ne AR CNIL f BEC a ie (OURS
Si l’on porte cette approximation dans la formule (35), on obtient
la formule de Gauss, qui est l’analogue de celle de Stirling, mais
plus avantageuse,
(40) Log I (4 + #2 re HE pr 1) CCE Vas Ti ogat
Soit # un entier ; en faisant 4 — #1 + = on obtient pour l’évaluation des factorielles la formule suivante, qui donne une meilleure
approximation que celle de Stirling
n ET ntg Re À | Sin MO OK 1).
(AT) UE L1/2r
CHAPILRESIV
Introduction à la théorie des séries trigonométriques
Ÿ 1. Séries de Fourier. Conditions nécessaires et suffisantes de convergence
. 72. Séries trigonométriques. Formules d’Euler. - On appelle série trigonométrique une série de la forme
(1) ad, + © (4, cos mX + b,, sin mX), REA
où x désigne une variable et 4, b des coefhcients constants. Si cette série converge quel que soit x, elle représente une fonction de période 2x. :
C’est EULER en 1753 qui a posé la question de savoir si'une fonction f(x), arbitrairement donnée, mais de période 27, peut être représentée par un développement de cette forme et c’est lui encore qui a trouvé les formules classiques pour la détermination des coefhcients. Voici d’ailleurs à peu près comment il procède pour effectuer le développement de la fonction dounée f(x).
Posons a priori
- d UE :
(2) f(x) == + E (a, cos mx + b,, sin mx)
et proposons-nous de déterminer les coefhcients. À cet effet, multiplions les deux membres par cos 7X dX et intégrons terme à terme
de O à 2z:
nous trouvons les formules d’Euler où de Fourier :
opérons de même, mais en multipliant par sin #X dx; ‘ : ï DT % I CT ds AUTRES =\ FÉXICOS HE A, 4 NE: J'EXESInnx ES (
