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A RE AO PR PS A OA LE OO PR DETTE 1 92 CHAPITRE IV. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES $

En effet, les intégrales de cos mX cos nx, de sin #1X sin 7x et de cos #X sin ZX sont nulles entre O et 27 sim est différent de #, tandis que, si 1 — 1, la dernière seule est nulle et les deux premières sont épales ar (tr BHhAre6),

Mais il importe d'observer tout de suite que ce raisonnement postule : 1° la possibilité du développement ; 2° la légitimité de l'intégration terme à terme. Il ne prouve donc rien, tant que ces deux démonstrations n’ont pas été faites. Aussi importe-t-il d’abord

de bien préciser lès questions que nous allons traiter.

73. Séries et constantes de Fourier. Problèmes qu’elles soulèvent. — Soit f(x) une fonction susceptible d'intégration. Les constantes d, et b, déterminées par les formules (3) s'appellent les constantes de Fourier de f(x) ; la série trigonométrique (1) formée avec ces constantes comme coefhcients et considérée au point de vue purement formel (qu’elle soit convergente ou non), s'appelle la série de Fourier de f(x). Alors on se pose les questions suivantes :

La série de Fourier de f(x) est-elle convergente ?

Si elle converge, a-t-elle pour somme f(x)?

Converge-t-elle uniformément ?

La fonction /(x) peut-elle admettre un développement trigonométrique autre que celui de Fourier ?

Ces questions ont donné lieu à une foule de travaux intéressants dont nous allons exposer quelques résultats. Aucune d’elles cepen-

dant ne peut encore être considérée comme complètement épuisée.

74. Hypothèses sur f(x). — La fonction f(x) dont nous allons étudier le développement sera, jusqu’à la fin du chapitre, soumise aux deux conditions suivantes : 1° c’est une fonction périodique de période 27 ; 2° elle est utégrable par les procédés que nous COnNaIssONS.

Si f(x) est absolument intégrable, c’est-à-dire si | /(x) | est intéorable, la série est une série de Fourier au sens propre. Dans le cas contraire, la série de Fourier de f(x) est smpropre. Nous ne nous

occuperons de ces dernières qu’à la fin du chapitre.

75. sommation de la série de Fourier par l’intégrale de Dirichlet. — Soit donc /(x) une fonction de période 27 et inté-

orable. Ses constantes de Fourier sont bien déterminées par les intégrales existantes :

(4) din us

CRT L(2T = (a) cos ma da, bis \

| (a) made.

D'ailleurs, par suite de la périodicité de la fonction sous le signe

D 5) on peut remplacer l’intervalle d'intégration par tout autre de même amplitude 27. On a ainsi, en particulier,

c) bn Mr LT

Donc reg I ° æ+ f h TZ f(x) cos m3 da ZA

) sin Wii da.

Soit S,, la somme des #7 + 1 premiers termes de la série de Fourier de f, à savoir

I mi

SPA 5% T+È D AC cos PX

+ D, sin kX).

Elle devient, par la substitution des valeurs des coefhcients

| ææ Le

Ses AP D S cos k (a — » | fQ) da:

ou encore, en remplaçant la variable d'intégration x

Ge D'ART:

T PT I 1rl De = + Y cos a (a + X) da.

r'jEr|:2 1 Mais, en sommant pour À — 1, 2,... m les m équations : | SN sin (4 + +) à — sin (f ——) x — 2 cos ha sin a ee “ao puis en divisant par 2 sin + «, on trouve FAPene MA (5) ASUS LE CHERE IN 2 Eu | 2 sin a

Enfin, en substituant ce résultat dans la valeur de S,,, on exprime

S,, par l'intégrale suivante, connue sous le nom d’intégrale de

Dirichlet :

OPA IE HS

Der TN ue da.

Le 2 SIN = %

La convergence de la série de Fourier revient donc à la convergence de cette intégrale quand #7 entier tend vers linfini. à Dans l'étude de cette convergence, le théorème suivant est tout

à fait fondamental.

76. Théorème. — Si /a fonction F(x) est absolument intégrable

(n° 74), les deux intégrales : | | «0

rh Pb \ F(&) sin la da, \ F(x) cos Fa da, [42 : ©

tendent vers O quand k tend vers l'infini d’une manière quelconque.

En particulier, les constantes de Fourier, a, et b,,, d’une fonction f(x) absolument intéorable tendent vers O quand m tend vers l'infini.

Il sufht de prouver le théorème pour la première des deux intégrales, le raisonnement étant le même pour lautre.

PREMIER CAS. — Si F(a) est continue dans l'intervalle (a, b), cette 4

première intégrale ne diffère de chacune des deux suivantes :

nb ph 1kA Êt | F(a) sin ka da |

T a+ — fe

que par des intégrales infiniment petites avec l’intervalle d’intégration supprimé. Il sufht donc de montrer que la somme de ces deux-ci ne.

tend vers O0. Or cette somme, après la substitution de à + +à à

dans son premier terme, s'écrit

Pb URSS s \ IOEIE + &) [sin bu “'NÈRRS

Quand À tend vers l’infini, la différence entre crochets tend uniformément vers O, donc l'intégrale tend vers 0. - k

DEUXIÈME Cas. — Si F(x) est discontinue en ‘un nombre ne de points, on peut admettre que ce soit aux extrémités 4 et b seulement, car lintégrale considérée peut se décomposer en plusieurs

autres satisfaisant à cette condition. Alors il sufhit, ce qui ramène

| "1 me PT LR y #4. “44 Me VERTE '# ARTS ñ : LA 1 . # .

au premier cas, de démontrer le théorème pour la seconde des deux intégrales :

Ê Probe \ Fa) sin x da, \ L'EF(a) sin ko de,

a Jat+s car leur différence est moindre que celle des deux intégrales de | F | da prises respectivement entre les mêmes limites : elle est donc aussi petite qu'on veut avec &.

TROISIÈME Cas. — Si F(a) est à variation bornée, il sufht de faire la démonstration pour F positive et croissante, car toute fonction à variation bornée est la différence de deux fonctions positives et croissantes (n° 33). Ensuite, si F est positive et croissante, on a, par le second théorème de la moyenne (n° 2), dont la démonstration

s'applique aussi bien à ce cas,

ob b cos RE —"cos kb

| \ Fa) sin ka da — F()\ sin ka da — F(b) Me

Cette expression tend vers Ô pour # — =. :

77. Convergence uniforme des intégrales précédentes. — 1° Dans les deux intégrales du théorème précédent, considérons les limites à et b comme variables, mais dans un intervalle fixe (A, B) dans lequel | F | est intégrable. Alors ces intégrales varient avec ‘4, b moins rapidement que lintégrale, fonction continue

de a, b et indépendante de P, °b \ ME ac:

Dans les intégrales du théorème sont fonctions wniformément

continues de a, b : elles tendent donc uniformément vers O quand k tend vers l'infini, puisqu'elles tendent vers Ü pour tout système particulier 4, b.

2° Considérons maintenant l’intégrale

ah \ Fa + x) sin la da,

[42 qui dépend de x variable, mais de telle façon que la variable b—= œ + X ne sorte pas d’un intervalle (A, B) où | F(é) | est

à + x fi LS RE de A 4 DEEE CR iQ tar cie) ( VE Na #1 À & | | | 1 à 96 CHAPITRE IV. SERIES TRIGONOMÉTRIQUES intégrable. Par la substitution de 3 — x à z, cette intégrale se décom-

pose en deux autres, multipliées par des facteurs de modules < 1,

? h+x PER COS Ex \ F(a) sin *a da — sin lx| F(x) cos. ka da, MCE ETE Ur

auxquelles s'applique le raisonnement précédent. Donc elle converge encore uniformément vers O pour k infini.

3° Considérons enfin l'intégrale plus générale

\ F(x + x) Q(2) sin ka da,

où nous supposerons que Q(x) admet une dérivée continue Q”(). Dans les mêmes conditions que la précédente, elle tend uniformément vers O quand k tend vers l'infini.

Posons, en effet,

D(2) — \ F(a + x) sin ka da:

cette intégrale devient, par intégration par parties,

P(b) Q(b) 1 D(x) Q'(x) da,

v 0 et elle tend uniformément vers zéro avec D, auquel s'applique la démonstration précédente.

Il peut se faire que Q(2) dépende de #. La démonstration précédente subsiste alors sous la condition que Q et Q° restent bornés

quand * tend vers l'infini.

78. Théorème de Rieman. -— La manière dont se comporte la série de Fourier de f(x) au point x ne dépend que de la nature de f(x) dans le voisinage du point x, pourvu que f(x) soit absolument intégrable.

En effet, si nous désignons par Q(c) la fonction 1 : 2 sin + à

) D DONS qui est continue ainsi que sa dérivée dans les intervalles (— x, — «) et (s, 7) quelque petit que soit < positif, l’intégrale (6), qu exprime S,, (n° 75), devient

S, — à fCX + à) Q(a) sin (m + À à da.