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La+a—s

Donc, pour que la série de Fourier converge vers S, il faut et il sufll qu’à out nombre «w positif donné, corresponde un entier positif M, tel que l'intégrale (7) soit de valeur absolue < « sous la condition m > M. De plus, M devra être indépendant de x pour que la convergence soit uniforme.

Mais, dans cet énoncé, nous allons successivement remplacer intégrale (7) par d’autres plus simples. D’abord par

ce qui est permis, parce que la différence des deux intégrales tend uniformément vers Ü en vertu des conclusions du n° 77. Cette

différence est, en effet, de la forme

I fui ; 16 I I | F(x + 2) sin | ( m + +) co | das Jr ALSOL ET AR D 7

où le dernier crochet est une fonction Q(+) continue ainsi que sa dérivée. En second lieu, on peut remplacer lintégrale (8) par la suivante, où < est un nombre positif aussi petit qu’on veut, mais indépendant de "» (et de x),

(9) A. LÉCx + ) — S] sin | (Co + el . ne.

car on néglige seulement deux portions de l’intégrale (8) qui tendent (uniformément) vers zéro quand #7 tend vers l'infini. | "100

Partageons l'intégrale (9) en deux autres, l’une aux limites — et O, l’autre aux limites O et <; puis ramenons la première aux mêmes limites que la seconde par le changement de signe de 4; l'intégrale (9) sera remplacée par lintégrale (tr) dé la règle suivante,

que nous sommes maintenant en droit d’énoncer.

80. Règle de convergence. — La condition nécessaire et suffisante pour que la série de Fourier d’une fonction absolument intégrable fCx) converge (uniformément) vers S est que, quelque petit que soit le nombre positif donné w, on puisse lui faire correspondre deux nombres & et M (indépendants de x) tels qu’en posant

Go): ve(a) = fe + à) f(x) Eee,

l'intégrale

Le . | (xt) . g(a) sin | Ce . +) [5 Fr Jo e2

soit de module < «w pour tout entier m > M.

Dans cette règle, on peut laisser tomber la condition que m soit entier. En effet, si lon retranche de l’intégrale précédente celle qu'on en déduit en remplaçant #1 par (m + 6) où 8 est une fraction et m un entier, on trouve, après avoir transformé sin (m + 6 + 5) %

— sin (m1 + ;) + en produit,

», sit 2 (2) ee ES | + Ra KR @ 0

} | da,

. es Ë ; \ et l’on voit que cette différence tend uniformément vers O pour ”

infini, d’après les conclusions du n° 77.

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Ç 2. Critères de convergence des séries de Fourier

Donnons d’abord quelques définitions générales :

81. Points de discontinuité de 1° espèce. Points réguliers. Fonctions à variation bornée. — Nous dirons, avec M. LEeBEsGUr, que le point X, est un point de discontinuité de première espèce de f(x) si cette fonction a une limite finie f(x, — 0) quand X tend vers x, en croissant, et une autre f(x, + 0) quand x tend vers X, en décroissant. Si ces deux limites étaient égales, la fonction serait continue au point 4. à

Nous dirons encore, avec M. Lebesgue, que le point x, est un point régulier si f(x, — 0) et f(x, + 0) existent et que f(x,) soit leur moyenne arithmétique. En particulier, tout point où f est continue est régulier.

Les points de discontinuité d’une fonction bornée non décroissante (ou non croissante) sont toujours de première espèce, en vertu d’un principe général de la théorie des limites (t. [, n° r6).

Une fonction à variation bornée (n° 33) est la différence de deux fonctions : et 4 bornées et non décroissantes. Elle ne peut donc avoir que des points de discontinuité de première espèce.

Dirichlet, qui a traité le premier rigoureusement la théorie des séries de Fourier, a considéré des fonctions bornées n'ayant qu’un nombre limité d’extrémés. Ce sont les fonctions qui satisfont aux

conditions de Dirichlet. Filles sont évidemment à variation bornée.