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f60 CHAPITRE ÎV. SERIES TRIGONOMÉTRIQUES

Ainsi, si la fonction est continue ou régulière au point x, on fait

S — f(x); si x est un point de discontinuité de première espèce,

on fait | | Gr DE/G 0 * 83. Premier critère de convergence (Dixi). — La série de

Fourier d’une fonction absolument intéorable f(x) converge vers f(x)

en lout point régulier tel que l'intégrale

PCI

lo “

existe.

C’est la conséquence de la règle du n° 80. Quel que soit w positif, on peut alors prendre < assez petit pour que cette intégrale soit < w, auquel cas lintégrale (xt) l’est a fortiori quel que soit ". Si cette condition se réalise avec : indépendant de x, la convergence sera uniforme.

Ce critère donne lieu à autant de cas particuliers qu’il y a de règles d'existence pour lintégrale. Par exemple, l'intégrale existe si (x) est infiniment petit d'ordre > 0 quand « tend vers 0.

Donc la série de Fourier converge en tout point x tel que f(x + à) — f(x) soit infiniment pelit d'ordre r > 0 pour « — 0. En particulier,

toute fonction dérivable est représentable en série de Fourier.

84. Deuxième critère (C. JorRDAN). — La série de Fourier d'une fonction absolument intégrable f(x) converge dans tout intervalle, si petit soit-il, où f(x) est à variation bornée. De plus, la convergence sera uniforme dans un intervalle intérieur à un intervalle de continuité. La somme S de la série sera f(x) en tout point régulier ; en un point de discontinuilé non régulier, ce sera ;

FC + 0) + fc + 0)

Remarquons que si / est à variation bornée, + l’est aussi et est, par conséquent, la différence de deux fonctions positives non décroissantes qui tendent vers Ü avec z (uniformément pour x variable

si f(x) est continue). Or, si la condition de la règle du n° 80 se

vérifie pour deux fonctions, elle se vérifiera pour leur différence. Il sufht donc de la vérifier en supposant + positive, non décroissante et tehdant (uniformément) vers OÜ avec z. On a, dans ce cas, en remplaçant m + = par k, et transformant par le second théorème de la moyenne,

à AO RE &(E) \ sin ha, 40) ds sin % U - ;

0 X (ra

ie

Cette quantité est en valeur absolue moindre que (*)

OI RE qu < | #0) |.

Ea be de la règle se vérifiera, w étant donné, en prenant

assez petit pour qu'on ait | e(c) | < «. Enfin, à lintérieur d’un intervalle de continuité de }, cette condition peut se réaliser avec

un < indépendant de x, ce qui achève la démonstration.

85. Troisième critère. —— La série de Fourier d'une fonction f(x)

absolument intégrable converge vers la limite pour x — 0 de la fonction

AC + a) + sie — 2)| ax,

en tout point x tel que cette fonction de à soit à variation bornée dans l'intervalle (0, +).

Soit S cette limite, toujours existante dans notre hypothèse.

Substituons-la dans £(z) (n° 82); la fonction à variation bornée :

re x

AQU LT dx =A [FC + à) + f(x — 2) — 28] da

tend vers OÜ avec a et je dis que la règle du n° 80 est applicable En effet, écrivons À au lieu de » + - et intégrons par parties l'intégrale de l'énoncé de cette règle. Il vient

“à sin £«