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(a ;) sin ka — W(:) sin ke — (6,4

role om

(*) En effet, l'intégrale de ke: à ke est la différence de celles de O à #s et de O à kz”. Ces deux-ci sont positives et Z que l'intégrale de O à +, parce que cette dernière mesure la plus grande arcade de la courbe + — sin & : &« qui se compose d’une suite d’arcades décroissantes de signes alternés. D’autre part, sin&: « est < 1.

di «

Re PE A LR pe ANR AS PONS TEA PS ET AE Te POP ON TA AS COTE PA RATS AU € EPA SR A EN UE DT OT DR CU Re ER A TRE ST PE PRE EN OT PR ’ F 4 %, 11 2 A { k L ’ Fe ae, + X =: (as ”

Soit w positif donné. On peut prendre : assez petit pour que le terme intégré soit < w quel que soit * (donc #}), car g(e) tend vers Ü avec :. Reste à montrer qu’on peut aussi réaliser cette condition pour l'intégrale.

Comme W est à variation bornée, on peut, ainsi que dans le numéro précédent, raisonner sur W comme sur une fonction positive non décroissante. Alors, par le second théorème de la moyenne, l'intégrale revient à |

W(: j\ 71 ue — We) [sin ka], — W(:) | Le da.

Donc, en prenant « et, avec lui, Wie) assez petits, on rendra la valeur absolue de cette expression < w quel que soit X.

Si W{:) tend uniformément vers Ü quand x varie, la convergence sera uniforme.

Il est assez facile de montrer que ce criterium contient les deux

précédents.

6 3. Exemples de développements en séries de Fourier

86. Cas des fonctions non périodiques. Séries de sinus et séries de cosinus. — On peut avoir à développer une fohction non périodique dans un intervalle d'amplitude 27, par exemple, dans l'intervalle (— x, + x). On revient alors au cas de la fonction périodique par lartifice suivant :

Soit F(x) la fonction proposée. On lui substitue une fonction / (x) de période 27, définie par la condition d’être égale à F(x) dans l'intervalle de (— x + 0, x). Le développement de f(x) en série de Fourier sera celui de F(x) dans lintervalle (— 7, + 7).

Les propriétés de /(x) feront connaître la manière dont la série se comporte aux extrémités de l'intervalle. Supposons F(x) et, par suite, f(x) à variation bornée. Pour x = 7, la somme de la série sera

FC — 0) + fr + 0) F(x — 0) + F(— x + 0) 2 2

2 ue RAA Lens Nue he ai FO AN Cu 2 a EE QD A SO D Or a Aer Cr OT ns Sy n. ' 1 2264 \ Caps | la al He: : © ; & ; : { | \

Donc, si F est continue mais non périodique, les extrémités de Pintervalle se comportent exactement comme des points de discontinuité. Au contraire, si F est continue et reprend la même valeur aux points X == + 7%, la convergence sera uniforme dans tout intervalle d’après le critère de Jordan (n° 84).

On peut aussi se proposer de développer F(x) en série de cosinus (ou de sinus) seuls dans un intervalle d'amplitude #, par exemple dans (0, x). On substitue alors à F(x) une fonction f(x), paire (ou impaire), de période 27, définie par la condition d’être égale à F(x) dans l'intervalle (0, x). Le développement de f(x) sera le développement cherché, car il ne contient que des cosinus si f est paire,

que des sinus si f est impaire.

87. Exemples de séries de sinus. — Les coefficients b,, du développement er série du sinus sont (/ étant impaire) fournis par les formules

Tr dis Rire (ren De = = | — À | À f(x) sin ra a] ue ua y T

d'où, en changeant % en 7 — + dans la dernière intégrale,

pe À LAC) — C— 1) f(r — 2)] sin ma da.

PREMIER EXEMPLE, — Soit à développer 7 : 4 dans l’intervalle (Orion af) = /f(r = «},.dénc by — Det

ae He \ sin (24% + 1) à da = Rs

Par conséquent, entre O et x (limites exclues),

T SDS MM ISINESSE

RAR SION ESS PR 4 3 Entre — * et O, la série a pour somme — + : 4. Pour ‘x — ÜÙ,

sa valeur est Ü, moyenne des valeurs de part et d'autre de ce

point, conformément aux théories générales,

RUE A Su k DEUxIÈME ExEMPLE. — Soit à développer te dans Pintervalle (0, x). On a f(a) = — f(r — a), donc by1, —= 0 et, en intégrant

par parties,

FI TT F1 f 2 2% ; J I 1l bar = TORRES | ne PA do = EEE 2) COS 223 da ee 2 à T 2h CTT Jo 2k

Par conséquent, entre 0 et (limites exclues),

UV InEX ER “e sin .