AR

et la série est encore discontinue pour x —

Si l’on soustrait ce développement du précédent, il vient

# Sin 2X , sin 3X sin 4X — — sin X — — + — = Sin 4x 2 2 3 4 et, les deux membres étant impairs, cette nouvelle formule est valable entre — met + x (limites exclues).

De même, en ajoutant les mêmes développements, T — X Sie UNION

= Sin X + — + ———— 2 Fo) 3

et cette formule est valable de 0 à 27 (limites exclues), parce que les deux membres changent seulement de signe quand on change

AUELILT MERE:

88. Exemples de séries de cosinus. — Les coefhicients à, du développement en série de cosinus sont (f étant paire) fournis

par les formules

Tr

Pat DE se - CCR = —— “A = \ EM (a)COsS ro del LAN te 40 F

d’où, en changeant + en & — 4 dans la dernière intégrale,

TRE Tee

PR 2\' LG LA 1) fm e)) cos mx do,

AN THAT X PREMIER EXEMPLE. — Soit à développer QUES dans l’intervalle (0, x). Comme (a) = — f(T — a), on a dy, = 0 et, en intégrant par parties, T Te z/ 7

2% G} k 2) cos (24 La dr \ sin (24 + 1)24x, ( =) Cas, (2k+ ir, ) d'oud, = 12 (24 ET) x Parconséquent,

T a 2 X COSESX = [cos SEE g: RE nl ?) T F S

4 3 Cette égalité est valable entre O et +, limites comprises. DEUXIÈME EXEMPLE. — Soit à développer sin px (p entier) dans l'intervalle (0, x).

DC UDAiDNIe less (Tes ee 0010 = 0 et de =. de : Se NE AE A2 HE Sn px cos (2/4 DÉMO 2" 2k+1 tje p CL ( = ) - p° ar. (2h < ae

DifiestinDa to a) donc, +1 10e

Te Et ; sx —= Æ\ sin px COS 2ka da — a :

( LAN 7 bp — (2h) Il vient, en définitive, entre 0 et 7, 4p F cos X CORAN COS RSA | il PÉRRRNES I NRAUEE +2 | (p pair) ï Le ND Er EE DNA sin px = \ s sTd COS 2 PRICOS HR 12 ee on | (p impair).

Ur

TROISIÈME EXEMPLE. — Soit à développer Log (2 sin :) en série

de cosinus dans l’intervalle (0, 7). On a d’abord (t. I, n° 190)

2 fe ? À 2 Tr / \ ‘ ——\ Log|2 sin —})dax=2Log 2 — 2\ Log | sin — } dx = 0. LA 2 T ; 2

dut ÿ Lan 10e }

“> \ ! 0 ; U Æ TG ETA ve | &

Ensuite, en intégrant par parties, puis par la formule (5) du n° 75,