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ne I. Supposons qu’on ait | f Go a 2(X) | à partir d'une cerlaine 3 4 valeur de X, et formons les deux imégrales : pen RASE L'e] FEU F à NT To !
Lo. | fan. Ne 0 Ë | | 3 Mi | | ; À 4 FN no Si la seconde est absolument convergente, la première l’est aussi; 51
la premiére n’est pas absolument convergente, la seconde ne l’est pas
non plus. “14 En effet, si l'intégrale de | + | est finie, ceie de flleseraa à for é
tiori (donc elle convergera); si l'intégrale den est infinie, celle
de |o | le sera a fortiori (donc celle de © ne sera pas absolument | ÿ
-convergente). #
On applique souvent ce théorème dans le cas où f est infiniment F petit par rapport à & pour X = æ ; il prouve alors que, si la seconde ee : , intégrale est absolument convergente, la première l’est aussi. à % IT. Signe change pas de signe et que le quotient f : & tende‘vers :. une limite L finie et différente de O pour X = =, les deux intégrales
à dr, 1e
5 de la règle précédente seront en même temps soil absolument conver= | gentes soit divercventes. 'NPANE
En effet, si x croît suflisamment, f(x) finit par rester compris $ entre (L — <) (x) et (L + :) e(x). Or les deux intégrales n
M ace PV sax, | (L+Dpdr= a+\ ed,
convergent où divergent en même temps que celle de +, et: ES F absolument car leur élément ne change pas de signe; nous en con- ‘2 ‘4 cluons, par le théorème I, que l'intégrale de f 4x ayant son élément intermédiaire entre ceux des précédentes, converge ou diverge en. même temps qu’elles. à
/ IL. Si, pour x infini, f(x) est infiniment petit d’ordre terminé La "3
la condition nécessaire et suffisante pour la convergence de \ : dx ". FRS
que l’on aitax DT et alors la convergence est absolue. | .
On dit que / est infiniment petit d’ordre à si le rapport f\ (x) xs es tend vers une limite EL, finie et différente de D ÉDOUT SE" Cette règle est donc un cas PAR UET de la précédente : HAE de fax
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